# The method of conditional boundary

## Abstract

The goal of this work is to propose a new approach to the calculation of electromagnetic field that excited by the eddy current induced in the conductive environment the influence of an external magnetic field source. The quasistationary approximation accepted, that is, the bias currents do not take into account.

Method. The main feature of the method is the introduction of so-called conditional boundary. This name is given for mental surfaces, which can be done in the area, free of conductive environment. Boundary form is arbitrary and dictated by considerations of calculations convenience. The agreement that the same boundary conditions, like on the conductor-vacuum boundary are performed.

We prove that this task change leads to a change in its decisions only outside of the conductor and the only for part of the electric field. Magnetic induction vector throughout the space, as well as electric field tension vector in the conductive environment do not change.

At the same time, a good choice of conditional boundary in some cases allows to simplify the task with calculation point of view.

In addition to the conditional boundaries introduction, some formal basic conversion ratios are proposed, describing quasistationary electromagnetic field. These changes had the same goal to simplify calculations.

The result. The new formulation of task of quasistationary electromagnetic field calculation is received in the form of differential equations system and boundary conditions, including both known ratio and the newly received. The new formulation is equivalent to traditional (with the above proviso). However, it has some advantages in terms of ease of calculation.

The practical significance. In practice of specific calculations the method would be useful, particularly in cases when the form guide is close to some "simple" form.

## Введение

В последнее время резко возрос интерес к разработке и внедрению транспортных систем с использованием MAGLEV-технологий не только применительно к пассажирским, но и грузовым перевозкам [1-6]. В связи с чем является важной задача по совершенствованию методов электродинамических расчетов в подобных системах, включая и аналитические методы.

В данной работе рассматривается задача расчета квазистационарного электромагнитного поля, которое возникает в проводнике и в окружающем пространстве под действием расположенных вне проводника первичных источников – токов, изменяющихся во времени и движущихся в пространстве. Предлагается некоторая трансформация этой задачи, которая, с одной стороны, сохраняет все существенные результаты, с другой, облегчает расчеты для ряда случаев, представляющих практический интерес.

## Исходная постановка задачи

Пусть D – область, занятая проводящей средой, вообще говоря, неоднородной (на рисунке, иллюстрирующем условные обозначения, область D закрашена), T – свободное пространство, S – их граница. Среда считается немагнитной, то есть, всюду $\mu =1$; первичные источники расположены в свободном пространстве T.

Рис.1

К выбору обозначений

Выпишем известные соотношения, образующие исходную постановку задачи в ее квазистационарном приближении [7-8].

1.1) В области D выполняются уравнения:

$\text{rot\hspace{0.17em}}B={\mu }_{0}\sigma \text{\hspace{0.17em}}E$, (1.1)

$\text{rot\hspace{0.17em}}E=-\partial B/\partial t$, (1.2)

$\text{div\hspace{0.17em}}B=0$. (1.3)

1.2) В области T выполняются уравнения (1.2) и (1.3), а также:

$\text{rot\hspace{0.17em}}B={\mu }_{0}j$, (1.4)

$\text{div\hspace{0.17em}}E=0$. (1.5)

1.3) На границе S выполняются условия контакта:

$\left[B\right]=0$, (1.6)

$\text{\hspace{0.17em}}\left[{E}_{t}\right]=0$. (1.7)

Здесь использованы следующие общепринятые обозначения:

σ – удельная проводимость (вообще говоря, зависит от координат);

$B$ и $E$ – векторы магнитной индукции и напряженности электрического поля (зависят от координат и времени);

$j$ – заданная плотность токов (первичный источник поля, зависит от координат и времени);

В условиях контакта квадратные скобки обозначают скачок на границе,

нижние индексы t и n – тангенциальные и нормальные компоненты вектора.

Чтобы сообщить задаче единственность, к этим соотношениям нужно добавить те или иные условия на бесконечности. Здесь они явно не выписаны и не конкретизированы, так как в дальнейшем не будут подвергаться изменению, и их конкретный вид роли не играет.

## Введение условной границы

Проведем в свободной области T мысленную границу G, которая отделит от области T некоторую ее часть Ti. К этой выделенной области Ti предъявляется единственное требование: в ней , иначе говоря, в области Ti нет источников. Тем самым, область T разбилась на части Ti и Te, граница S (проводник-вакуум) – на части Se (между Te и D) и Si (между Ti и D) – смотри рисунок. Поверхность G – и есть та условная граница, которая дала название методу.

Будем рассматривать уравнения (1.4)-(1.5), справедливые для всей области T, как действующие отдельно в областях Ti и в Te (заметим, при этом, что в области Ti уравнение (1.4) принимает вид $\text{rot\hspace{0.17em}}B=0$). Чтобы такая постановка была равносильна исходной, достаточно [9] потребовать, чтобы на границе G все компоненты векторов $B$ и $E$ были непрерывны.

Назовем задачу в такой постановке задачей I и перейдем к формулированию новой задачи II.

Заменим непрерывность нормальной компоненты $E$ на границе G условием

${E}_{n}^{i}=0$, (2.1)

где индекс i обозначает предельное значение на границе G изнутри области Ti. При этом сохраним непрерывность остальных компонент  и на границе G. Таким образом, на границе G выполнены условия (1.6), (1.7) и (2.1).

Выясним, как изменится вследствие этого решение задачи (то есть, векторы $B$ и $E$). Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.

Пусть ${B}^{\text{I}}$, ${E}^{\text{I}}$– решение задачи I, ${B}^{\text{II}}$, ${E}^{\text{II}}$– решение задачи II.Тогда

${B}^{\text{II}}={B}^{\text{I}}$, (2.2)

${E}^{\text{II}}={E}^{\text{I}}$ в области D, (2.3)

${E}^{\text{II}}={E}^{\text{I}}+grad\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\varphi }_{e}$, где $\Delta \text{\hspace{0.17em}}{\varphi }_{e}=0$ в области Te, (2.4)

${E}^{\text{II}}={E}^{\text{I}}+grad\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\varphi }_{i}$, где $\Delta \text{\hspace{0.17em}}{\varphi }_{i}=0$ в области Ti, (2.5)

Доказательство.

1. Пусть ${B}^{\text{I}}$, ${E}^{\text{I}}$– решение задачи I. Построим ${B}^{\text{II}}$${E}^{\text{II}}$ согласно (2.2)-(2.5), где φi, и φe – гармонические функции [10], в областях Ti и Te, удовлетворяющие на границах этих областей следующим краевым условиям:

$\frac{\partial {\varphi }_{i}}{\partial n}=-{E}_{n}^{\text{I}}$ на границе Г, (2.6)

${\varphi }_{i}=0$ на границе Σi, (2.7)

${\varphi }_{e}={\varphi }_{i}$ на границе Г, (2.8)

${\varphi }_{e}=0$ на границе Σe. (2.9)

Докажем, что построенные так ${B}^{\text{II}}$, ${E}^{\text{II}}$ суть решение задачи II.

В силу равенств (2.2), (2.3) для ${B}^{\text{II}}$${E}^{\text{II}}$ выполняются все уравнения в области D и все уравнения и граничные условия, в которых присутствует только $B$.

Поскольку ${E}^{\text{I}}$ и ${E}^{\text{II}}$ отличаются градиентным слагаемым, уравнение (1.2) выполняется в силу того, что ротор градиента равен нулю, а уравнение(1.5) – в силу того, что $\text{div\hspace{0.17em}}grad\text{\hspace{0.17em}}{\varphi }_{e,i}=\Delta {\varphi }_{e,i}=0$ [11].

Остается проверить выполнение:

– условий (2.1) и (1.7) на границе G,

– условий (1.7) на границах Si и Se.

1) Условия на границеG

Согласно уравнению (2.5), предельное значение ${E}_{n}^{\text{II}}$, со стороны области Ti равно ${E}_{n}^{\text{I}}+\partial \text{\hspace{0.17em}}{\varphi }_{i}/\partial n$. Но, как видно, из выражения (2.6), ${E}_{n}^{\text{I}}+\partial \text{\hspace{0.17em}}{\varphi }_{i}/\partial n={E}_{n}^{\text{I}}-{E}_{n}^{\text{I}}=0$. Тем самым условие (2.1) выполнено.

Займемся условиями (1.7). Вычислим скачок ${E}_{t}^{\text{II}}$ (индекс t обозначает произвольное тангенциальное направление). Согласно равенств (2.4), (2.5), $\left[{E}_{t}^{\text{II}}\right]=\left[{E}_{t}^{\text{I}}\right]+\left(\partial \text{\hspace{0.17em}}{\varphi }_{e}/\partial t-\partial \text{\hspace{0.17em}}{\varphi }_{i}/\partial t\right)$. Первое слагаемое равно нулю, так как для имеет место (1.7), второе – в силу условия (2.8). Тем самым $\left[{E}_{t}^{\text{II}}\right]=0$, то есть, условие (1.7) выполнено и для ${E}^{\text{II}}$.

2) Условия на границе Σi

Согласно (2.3), (2.5), $\left[{E}_{t}^{\text{II}}\right]=\left[{E}_{t}^{\text{I}}\right]+\partial {\varphi }_{i}/\partial t$. Первое слагаемое равно 0, так как для ${E}^{\text{I}}$ имеет место условие (1.7), а $\partial {\varphi }_{i}/\partial t=0$ в силу (2.7). Тем самым, (1.7) выполнено и для ${E}^{\text{II}}$.

3) Аналогично из (2.4), (2.5), условия (1.7) для ${E}^{\text{I}}$ и краевого условия (2.9) выводится (1.7) для ${E}^{\text{II}}$ на границе Σe.

Итак, для ${E}^{\text{II}}$ выполнены все соотношения задачи II.

1. Пусть ${B}^{\text{II}}$${E}^{\text{II}}$ – решение задачи II, построим решение задачи I.

Пусть ψ – потенциал, создаваемый в области T простым слоем, распределенным на границе G с плотностью – ${E}_{n}^{{\text{II}}^{e}}$ (нормальная компонента с внешней стороны) [12]. Как известно [13], ψ – гармоническая функция в областях Te и Ti, а на их границе G

$\left[\partial \psi /\partial n\right]=-{E}_{n}^{{\text{II}}^{e}}$. (2.10)

Пусть u – гармоническая функция в области T, удовлетворяющая на границе Σ граничному условию

$u=-\psi$ (2.11)

Определим ${E}^{\text{I}}$ в областях Te и Ti следующим образом:

${E}^{\text{I}}={E}^{\text{II}}+grad\text{\hspace{0.17em}}\psi +grad\text{\hspace{0.17em}}u$. (2.12)

Проверим выполнение требований задачи I.

Как и выше, автоматически выполняются все уравнения в области D, и все соотношения, не содержащие $E$. Далее, уравнения, содержащие $E$, также выполняются, так как для этого достаточно, чтобы ${E}^{\text{I}}$ и ${E}^{\text{II}}$ отличались градиентным слагаемым [11], а это имеет место в силу (2.12). Тем самым, остается проверить, что для ${E}^{\text{I}}$ выполняются:

– условия непрерывности всех компонент на границе G,

– условия (1.7) на границах Σi и Σe.

1) Условия на границе G

Изучим три слагаемых в (2.12) с точки зрения непрерывности тангенциальных компонент на границе G. У ${E}^{\text{II}}$ они непрерывны, так как ${E}^{\text{II}}$ – решение задачи II, у $grad\text{\hspace{0.17em}}\psi$ – в силу непрерывности потенциала простого слоя [13], у $grad\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}u$ – поскольку в окрестности границы G функция u – гармоническая. Тем самым, на границе G тангенциальные компоненты ${E}^{\text{I}}$ непрерывны.

Займемся нормальными компонентами на границе G. Нормальная компонента ${E}^{\text{II}}$ имеет скачок ${E}_{n}^{{\text{II}}^{e}}-{E}_{n}^{{\text{II}}^{i}}$. Но в силу (2.1), ${E}_{n}^{{\text{II}}^{i}}=0$, значит, скачок равен ${E}_{n}^{{\text{II}}^{e}}$. Нормальная компонента $grad\text{\hspace{0.17em}}\psi$ это $\partial \psi /\partial n$. Согласно (2.10), ее скачок равен $-{E}_{n}^{{\text{II}}^{e}}$. Нормальная компонента $grad\text{ \hspace{0.17em}}u$непрерывна, так как в окрестности границы G функция u – гармоническая. Таким образом, скачок нормальной компоненты ${E}^{\text{I}}$ на границе G равен ${E}_{n}^{{\text{II}}^{e}}-{E}_{n}^{{\text{II}}^{e}}+0=0$.

Итак, на границе G все компоненты ${E}^{\text{I}}$ непрерывны.

2) Условия на границах Σi и Σe

С внешней стороны ${E}_{t}^{\text{I}}={E}_{t}^{\text{II}}+\partial \psi /\partial t+\partial u/\partial t$. Но $\partial \psi /\partial t+\partial u/\partial t=0$ в силу (2.11). Значит, . С внутренней стороны это равенство также выполняется (см. (2.3)). Значит, ${E}_{t}^{\text{I}}={E}_{t}^{\text{II}}$. Условие (1.7) выполнено.

## «Стирание» Σi – внутренней части реальной границы

Дальнейшая трансформация задачи является равносильной, то есть, не приводит к изменению ее решения.

Доопределим функцию σ нулем в области Ti. Тогда уравнения (1.1) для области D и $\text{rot\hspace{0.17em}}B=0$  для области Ti можно заменить одним уравнением (1.1) для объединенной области TiÈD.

Вычислим дивергенцию от обеих частей (1.1). Поскольку дивергенция ротора равна 0 [11], получим, что $\text{div\hspace{0.17em}(}\sigma \text{\hspace{0.17em}}E\right)=$0. Или, что то же самое, $\sigma \text{\hspace{0.17em}div\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}E+E\cdot grad\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\sigma =0$. Разделив обе части на $\sigma$, получим: $\text{div\hspace{0.17em}}E=-p\cdot E$, где $p=\left(grad\text{\hspace{0.17em}}\sigma /\sigma \right)$. Будем считать, что в области Ti вектор $p$ равен 0. Тогда уравнение

$\text{div\hspace{0.17em}}E=-p\cdot E$. (3.1)

будет справедливо в объединенной области TiÈD, причем в Ti оно заменит собою (1.5), а в D будет следствием (1.1).

Итак, в объединенной области TiÈD, выполнена система уравнений: (1.1)-(1.3), (3.1). Докажем, что условия контакта (1.6), (1.7) на границе Si также вытекают из этой системы, если считать, что она имеет силу для всей объединенной области TiÈD, включая границу Σi. При этом дифференцирование разрывных функций следует понимать в смысле обобщенных функций [14].

Введем в некоторой точке границы Σi локальную систему координат, направив ось z по нормали от D к Ti считая при этом, что на границе $z=0$.

Запишем в этих координатах уравнение (1.3)

$\partial {B}_{z}/\partial z+\partial {B}_{x}/\partial x+\partial {B}_{y}/\partial y=0$.

Все три компоненты $B$ имеют, вообще говоря, скачок при $z=0$. Следовательно, производная по z будет иметь сингулярное слагаемое $\left[{B}_{z}\right]\text{\hspace{0.17em}}\delta \left(z\right)$, а продольные производные не будут содержать сингулярности (здесь через $\delta \left(z\right)$ обозначена дельта-функция Дирака) [15]. Таким образом, из (1.3) имеем: $\left[{B}_{z}\right]\text{\hspace{0.17em}}\delta \left(z\right)+...=0$, где многоточием обозначена обычная функция (то есть, не имеющая сингулярностей) [15]. Отсюда следует, что $\left[{B}_{z}\right]\text{\hspace{0.17em}}=0$. Тем самым, на границе Σi нормальная компонента $B$ непрерывна.

Перейдем к уравнению (1.1). Его правая часть не содержит производных, значит, это обычная функция. Выделим сингулярную составляющую левой части. В координатной записи выражения $\text{rot\hspace{0.17em}}B$ производную по нормали содержат только два слагаемых, а именно:

$\left(\partial {B}_{x}/\partial z\right)\text{\hspace{0.17em}}{e}_{y}-\left(\partial {B}_{y}/\partial z\right)\text{\hspace{0.17em}}{e}_{x}$.

Сингулярная составляющая этого выражения равна $\left(\left[{B}_{x}\right]{e}_{y}-\left[{B}_{x}\right]{e}_{x}\right)\text{\hspace{0.17em}}\delta \left(z\right)$ [15]. Приравнивая это выражение к 0, получим условие непрерывности тангенциальных компонент $B$. Вместе с полученной ранее непрерывностью нормальной компоненты это дает условие (1.6) на границе Σi.

Совершенно аналогичное рассмотрение уравнения (1.2) дает условие (1.7) – непрерывность на границе Σi тангенциальных компонент $E$.

## Унификация условий на внешней части реальной границы (Se) и условной границе (G)

На обеих этих границах выполнены условия непрерывности вектора $B$ (1.6) и тангенциальных компонент $E$ (1.7), а на границе G – еще и условие (2.1). Как известно [7], для границы проводник-вакуум, каковой является граница Σe, условие (2.1) является следствием (1.6), (1.7) и уравнений для $B$ и $E$ по разные стороны границы (в предположении, что на границе внутреннее предельное значение проводимости отлично от нуля). Физически же условие (2.1) выражает тот факт, что вихревые токи не протекают сквозь границу. Таким образом, можно считать, что на всей объединенной границе ${\Sigma }_{e}\underset{⏝}{}Г$ выполнены условия (1.6), (1.7) и (2.1). (На рисунке, помещенном в разделе 1 статьи эта граница имеет вид плоскости).

## Итоговая формулировка

В итоге мы пришли к задаче, включающей следующие уравнения и граничные условия.

5.1) В объединенной области TiÈD (на рисунке она имеет вид нижнего полупространства) выполнена система уравнений:

$\text{rot\hspace{0.17em}}B={\mu }_{0}\text{\hspace{0.17em}}\sigma \text{ }E$, $\text{rot\hspace{0.17em}}E=-\partial \text{ }B/\partial t$, $\text{div\hspace{0.17em}}B=0$, $\text{div\hspace{0.17em}}E=-p\text{\hspace{0.17em}}E$.   (5.1)

5.2) В области Te (на том же рисунке – верхнее полупространство) – система уравнений

$\text{rot\hspace{0.17em}}B={\mu }_{0}\text{\hspace{0.17em} }j$, $\text{rot\hspace{0.17em}}E=-\partial \text{ }B/\partial t$, $\text{div\hspace{0.17em}}B=0$, $\text{div\hspace{0.17em}}E=0$.             (5.2)

5.3) На границе этих областей ${\Sigma }_{e}\underset{⏝}{}Г$– условия

$\left[B\right]=0$, $\left[{E}_{t}\right]=0$, ${E}_{n}^{i}=0$.                                                         (5.3)

Здесь:

j – заданная функция координат и времени (распределение плотности тока в первичном источнике поля),

σ – заданная функция координат (удельная проводимость, которая может принимать и нулевые значения),

$p=\left(grad\text{\hspace{0.17em}}\sigma /\sigma \right)$, причем в области, где $\sigma =0$, p принимается равным нулю.

## Физическая интерпретация

Вернемся к исходной задаче и поместим в область Ti однородную проводящую «вставку» с удельной проводимостью s0 >0. Тогда вся объединенная область TiÈD будет заполнена проводником, и вся ее граница SeÈG станет реальной границей раздела проводник-вакуум. Поэтому в области TiÈD будут выполняться уравнения для проводящей среды, причем их можно будет записать в виде (5.1). В области Te будут выполнены уравнения для вакуума (5.2), а на границе этих областей SeÈG– граничные условия (5.3), в том числе условие ${E}_{n}^{i}=0$.

Устремим теперь σ0 к нулю. В пределе все соотношения примут тот вид, который отвечает случаю ${\sigma }_{0}=0$ (то есть, когда проводящей вставки, изначально нет). Исключение составляет поведение нормальной компоненты $E$ на границе G. Если ${\sigma }_{0}=0$, то граница G не является границей раздела, поэтому на ней нормальная компонента $E$ непрерывна. Однако при любом сколько угодно малом σ0, отличном от 0, G есть граница раздела проводник-вакуум, поэтому на ней выполняется условие ${E}_{n}^{i}=0$. Очевидно, это условие сохранится и в пределе при ${\sigma }_{0}\to 0$.

Таким образом, задача (5.1)-(5.3), отвечает той ситуации, когда область Ti заполнена плохим проводником. Наличие проводимости (пусть и слабой) обеспечивает условие ${E}_{n}^{i}=0$, однако вихревые токи, индуцированные в Ti, не оказывают заметного влияния на результирующие поля.

## Заключение

Новая формулировка задачи позволяет найти верные значения магнитного вектора во всем пространстве и электрического вектора в проводящей среде. Этого достаточно для отыскания всех характеристик системы, представляющих окончательный интерес, таких как силы взаимодействия первичного источника с вихревыми токами, тепловыделения в проводящей среде и т.п.

Польза перехода к новой формулировке связана с возможностью в ряде случаев «исправить» сложную форму проводящей области. Этого удается достичь, когда реальная форма в том или ином смысле близка к некоторой простой. Примерами могут служить проводники простой формы (скажем, плоской), содержащие изъяны, шероховатости, стыки и т.п.

×

### Konstantin E. Voevodskii

St. Petersburg State University

Author for correspondence.
Email: kv5832@mail.ru

assistant professor of department High geometry

Russian Federation

Emperor Alexander I Petersburg State Transport University

Email: strepetov.vm@mail.ru

Ph.D., assistant professor of department "Electromechanical complexes and systems"

Russian Federation

## References

1. Антонов Ю. Ф. Магнитолевитационная транспортная технология / Ю. Ф. Антонов, А. А. Зайцев; под ред. В. П. Гапановича. - ФИЗМАТЛИТ, 2014. - 476 с. - ISBN 978-5-9221-1540-7.
2. Зайцев А. А. Транспорт на магнитном подвесе /А. А. Зайцев, Г. Н. Талашкин, Я. В. Соколова. Под ред. А. А. Зайцева. - СПб: ПГУПС, 2010. - 160 с. - ISBN 978-5-7641-0262-7.
3. Зайцев А. А. Контейнерный мост Санкт-Петербург - Москва на основе левитации / А. А. Зайцев, Ю. Ф. Антонов // Магнитолевитационные транспортные системы и технологии. МТСТ-14: Труды 2-ой Международной научной конференции. Санкт-Петербург, 17-20 июня 2014 года; под ред. проф. Ю. Ф. Антонова, Киров: МЦНИП, 2014. - С. 11-23. - ISBN 978-5-00090-036-9.
4. Хожаинов А. И. Энергосберегающие преобразователи электроприводов магнитолевитационных транспортных систем / А. И. Хожаинов, В. В. Никитин, Е. Г. Середа // Магнитолевитационные транспортные системы и технологии. МТСТ’14: Труды 2-ой Международной научной конференции. Санкт-Петербург, 17-20 июня 2014 года; под ред. проф. Ю. Ф. Антонова, Киров: МЦНИП, 2014. - С. 313-322. - ISBN 978-5-00090-036-9.
5. Никитин В. В. Варианты схем электроснабжения транспортного средства с комбинированной системой левитации и тяги на переменном токе/ В. В. Никитин, В. М. Стрепетов, А. С. Волювач // Известия высших учебных заведений «Проблемы энергетики», 2010. - №3-4. - С.54-62.
6. Антонов Ю. Ф. Технология HSST в проектах LINIMO и ROTEM / Ю. Ф. Антонов, В. В. Никитин, А. И. Хожаинов // Магнитолевитационные транспортные системы и технологии. МТСТ-13: Труды 1-ой Международной научной конференции. Санкт-Петербург, 29-31 октября 2013 года. ; под ред. проф. Ю. Ф. Антонова, СПб: ООО PUDRA, 2013. - С. 133-137. - ISBN 978-5-85263-125-1.
7. Ландау Л. Д. Теоретическая физика. Электродинамика сплошных сред. 2-е изд., испр. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц - М.: изд-во Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 621 с. (т. VIII).
8. Voevodskii K. E. and Kochetkov V. M. Theory of superconducting magnet suspension: main results, survey // Cryogenics, 1981. -.№12. - pр. 719-728.
9. Тамм И. Е. Основы теории электричества. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 616 c.
10. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский - М.: изд-во Наука, 1977. - 735 с.
11. Анчиков А. М. Основы векторного и тензорного анализа. - М.: изд-во Наука, 1988. - 140 с.
12. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. - М.: ГИТТЛ, 1953. - 416 с.
13. Бабич В. М. Линейные уравнения математической физики / В. М. Бабич, М. Б. Капилевич, С. Г. Михлин, Г. И. Натансон, П. М. Риз, Л. Н. Слободецкий, М. М. Смирнов. Под ред. С. Г. Михлина; под общей ред. Л. А. Люстерника и А. Р. Янпольского. - М.: изд-во Наука, 1964. - 368 с.
14. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. -М.: изд-во Наука, 1965. - 328 с.
15. Г ельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. - М: Физматгиз, 1959. - 470 с.

## Supplementary files

There are no supplementary files to display.

Copyright (c) 2016 Voevodskii K.E., Strepetov V.M.