Левитационные характеристики транспортной установки с электродинамическим подвесом при наличии продольного стыка в путевом полотне

Полный текст

Введение

Для большинства промышленно развитых стран мира характерен неуклонный рост пассажирских перевозок, который может быть обеспечен за счёт повышения провозной и пропускной способности транспортных систем. При этом одновременно предполагается и повышение качества транспортного обслуживания: уменьшение затрат времени на поездку «от двери до двери», уменьшение наполняемости подвижного состава в часы «пик», сокращение межпоездных интервалов.

Одним из альтернативных ответов на данную задачу является создание систем высокоскоростного наземного транспорта (ВСНТ) с использованием магнитного подвешивания транспортной установки. Создание ВСНТ на магнитном подвесе способствует экономическому росту за счёт внедрения новейших достижений научно-технического прогресса и содействует укреплению престижа России как одной из ведущих стран с высокоразвитыми транспортными системами [1-5] .

Используются преимущественно два типа магнитных подвесов – электромагнитный (ЭМП) и электродинамический (ЭДП).

Действие ЭДП основано на использование сил отталкивания, возникающих между магнитным полем, размещённых на подвижном составе сверхпроводящих электромагнитов постоянного тока и индуктированными ими токами в путевом немагнитном полотне сплошного или дискретного типов. ЭДП по сравнению с ЭМП позволяет получить на порядок большую высоту подвешивания (100-200 мм). ЭДП присуще естественная вертикальная устойчивость.

Существует много способов, обеспечивающих боковую стабилизацию экипажа транспортных систем с ЭДП. Однако каждому из них присуще определенные недостатки. В связи, с чем актуальна задача по поиску альтернативных методов боковой стабилизации экипажа данной транспортной системы.

Целью предлагаемой работы является получение теоретических и технических решений, обеспечивающих эту задачу.

Основные понятия и общая постановка задачи

Конструктивная схема транспортной системы ЭДП, путевое полотно которой содержит продольный стык, представлено на Рис. 1.

 

Рис. 1. Конструктивная схема транспортной системы с ЭДП при наличии продольного стыка в полотне

 

На Рис. 1 цифрами обозначены: 1 – путевое полотно, 2 – продольный стык в полотне, 3 – электромагнит подвеса.

Расчетная схема для определения левитационных характеристик транспортной установки с ЭДП при наличии продольного стыка в путевом полотне представлена на Рис. 2.

Будем исходить из предположения, что наличие продольного стыка в путевом полотне обеспечит данной транспортной системе с ЭДП боковую устойчивость.

Для обоснования данного предположения ограничимся рассмотрением приближения бесконечно широкого полотна.

Будем считать, что полотно представляет собой слой между плоскостями z = 0 и z =T (T – толщина полотна), воздушный зазор в полотне занимает область -a <y <a (таким образом, ширина зазора равна 2a), экипажный электромагнит движется вдоль оси x в плоскости z = h>T.

В [6] предложен метод условной границы, который позволяет свести задачу расчета электромагнитного поля в описанной системе к расчету полей, возбуждаемых в плоском слое 0 ≤ z ≤ T, сплошь заполненном неоднородной проводящей средой. Для данного случая удельная проводимость среды в этом слое зависит только от координаты y, и эта зависимость имеет вид (1)

 

$\sigma \left(y\right)={\sigma }_{0}k\left(y\right)$, $k=\left\{\begin{array}{l}1при\left|y>a\right|\\ 0при\left|y<a\right|\end{array}\right.$. (1)

 

Здесь  σ₀ – удельная проводимость материала полотна.

Расчетная схема для определения левитационных характеристик транспортной установки с ЭДП при наличии продольного стыка в путевом полотне представлена на Рис.2.

 

Рис. 2. Расчетная схема транспортной системы ЭДП с продольным стыком в путевом полотне

 

Задача расчета полей в неоднородном проводящем слое, удельная проводимость которого может зависеть от всех трех координат, рассмотрена в [7], где получено основное интегральное уравнение теории ЭДЛ, в котором роль неизвестной функции играет фурье-образ вектора напряженности электрического поля E в слое 0 ≤ z ≤ T.

В [8] подробно изучен тот частный случай (поперечный стык), когда удельная проводимость зависит только от координаты x, причем эта зависимость имеет вид (1) с заменой y на x. Показано, что при реальных значений параметров системы к данной задаче применимо приближение тонкого полотна (глубина скин-слоя больше толщины полотна), и в этом приближении получено одномерное интегральное уравнение для фурье-образа x-компоненты вектора E.

Повторяя аналогичные рассуждения и выкладки применительно к случаю продольного стыка, можно получить следующее интегральное уравнение для фурье-образа y-компоненты вектора E.

 $u\left(y\right)=Ф\left(y\right)+\frac{i\xi }{\pi r}\underset{}{\overset{}{\int }}u\left(y^{\text{'}}\right)\left[K_0(\left|\xi (y-y^{\text{'}})\right|\right.)-H(y\left)K_0\right(\left|\xi (y^{\text{'}}-a)\right|)\left.-H(-y)K_0\left(\left|\xi (y^{\text{'}}+a)\right|\right)\right]d{y}^{\text{'}}$. (2)

Здесь u(y) – фурье-образ E_y по переменной x; ξ, η – параметры преобразования Фурье по переменным x и y; $k=\xi e_x+\eta e_y$, $k=\left|k\right|=\sqrt{{\xi }^2+{\eta }^2}$  ;

$Ф\left(y\right)=f\left(y\right)-H\left(y\right)f\left(a\right)-H(-y)f(-a)$; f (y) – обратное фурье преобразование функции $f\left(\eta \right)=({\mu }_0/2k)v{\xi }^{2}V(k)e^{-kh}$; $r=2/l$; $l={\mu }_0{\sigma }_{0}vT$; $v$ – скорость экипажа, V(k) – фурье-образ по x и y потенциальной функции тока, характеризующей форму и н.с. экипажного электромагнита [9];

$H\left(y\right)=\left\{\begin{array}{l}{e}^{-\left|\xi y\right|}/\left(2\text{ch(}\xi a\right)y>a\\ 0y<-a\end{array}\right.$; К₀ – модифицированная функция Ханкеля нулевого порядка [10]. При выводе этого уравнения использованы также данные [11].

Расчет левитационных характеристик

Ограничимся рассмотрением случая, при котором ширина воздушного зазора 2a мала по сравнению с прочими характерными размерами системы. В этом случае влияние стыка связано главным образом не с отсутствием проводящей среды в зазоре |y| < a, а с искажением картины вихревых токов в путевой структуре, которое вызвано отсутствием электрического контакта между областями y> a и y<-a. По этой причине уравнение (2) можно заменить его предельным случаем при a →0, то есть – уравнением:

$u\left(y\right)=f\left(y\right)-f\left(0\right)e^{-\left|\xi ,y\right|}+\frac{i\xi }{\pi r}\left[\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{K}_0\left(\left|\xi (y-y^{\text{'}})\right|\right)u\left(y^{\text{'}}\right)-e^{-\left|\xi ,y\right|}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{K}_0\left(\left|\xi y\right|\right)u\left(y\right)dy\right]$ (3)

 

Уравнение (3) решается в квадратурах. Для этого удобно проделать в выражении (3) преобразование Фурье по переменной у. Первый интеграл в формуле (3) представляет собой свёртку по переменной y, а второй – скалярное произведение в пространстве L₂(-∞<y<∞) функций K₀(|ξy|) и u(y), поэтому в результате преобразования Фурье они перейдут, соответственно, в произведение и скалярное произведение в L₂(-∞<η<∞) фурье-образов названных функций. Выразив значение f (0) через фурье-образ функции f и пользуясь данными [11], из (3) можно подучить уравнение

$u\left(\eta \right)=f\left(\eta \right)-\frac{\left|\xi \right|}{\pi k^2}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f\left(\eta \right)d\eta +\frac{i\xi }{r}\left[\frac{u\left(\xi \right)}{k}-\frac{\left|\xi \right|}{\pi k^2}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{u\left(\eta \right)}{k}\right]$.

Обособив здесь u, стоящее вне интеграла, придём к интегральному уравнению с вырожденным ядром, которое решается стандартным способом [12, 13, 14], и решение которого имеет вид

$u\left(\eta \right)=\frac{r}{kr-i\xi }\left[kf\left(\eta \right)-\frac{\gamma \left|\xi \right|{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}kf\left(\eta \right)/(kr-i\xi )d\eta }}{k(\pi +i\text{\hspace{0.17em}sign(}\xi \text{)\hspace{0.17em}ln(}\lambda +\text{1)/(}\gamma \text{-1)}}\right]$; $\gamma =\sqrt{r^2+1}.$ (4)

Напомним, что функция u есть y-компонента искомого вектора E. Зная её можно найти все компоненты векторов Его x-компонента определяется следующим выражением E и B [8]. Затем, используя подход [9], аналогично тому, как это сделано в [8], найти силу, действующую на экипажный электромагнит.

Опуская промежуточные выкладки, приведем результирующие формулы, определяющие эту силу

 

$F=F_{\text{0}}+f$;  $F_{\text{0}}=4{\mu }_{0}l\left(\frac{l}{2}{e}_{\text{z}}-e_x\right)\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}d\xi \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}d\eta \frac{k^2{\xi }^2{e}^{-2kh}{\left|V\left(k\right)\right|}^2}{4k^2-i^2{\xi }^2}$, (5)

 

$f=\frac{{\mu }_{\text{0}}\gamma }{2}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}d\xi \frac{{\xi }^2}{i\pi \text{\hspace{0.17em}sign(}\xi \text{)}+\text{ln}\frac{\gamma +\text{1}}{\gamma \text{-1}}}\left\{\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}d{\eta }_1{G}_1^{-}\frac{e^{-k_{1}h}V\left(k_1\right)}{k_{\text{1}}r-i\xi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}d{\eta }_2\frac{e^{-k_{2}h}V\left(k_2\right)}{k_{\text{2}}r-i\xi }\right\}$ (6)

 

$k_{\mathrm{1,2}}=\xi e_x+{\eta }_{\mathrm{1,2}}{e}_y$; $k_{\text{1,2}}=\left|k_{\text{1,2}}\right|$; ${\overrightarrow{G}}_1^{-}=i\xi e_x+{\eta }_1{e}_y-k_1{e}_z$.

 

Конкретизируем полученные соотношения применительно к случаю прямоугольной формы экипажного электромагнита длины 2а, ширины 2b. Его боковое смещение относительно плоскости y = 0 обозначим через Δ (см. рис.2.). Для описываемого случая

$V\left(k\right)=\frac{2I}{\pi }\frac{\sin a\xi \cdot \sin b\eta }{\eta \xi }{e}^{-i\eta \Delta }$.

Подставляя это выражение в (6), можно получить после ряда элементарных преобразований

 

$\left\{\begin{array}{l}{f}_x=C\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\xi {\sin }^2\left(a\xi \right)\mathrm{Im}\left(\alpha I_1\right)d\xi ;f_y=C\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\xi {\sin }^2\left(a\xi \right)\mathrm{Re}\left(\alpha I_1{I}_2\right)d\xi ;\\ f_z=C\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\sin }^2\left(a\xi \right)\mathrm{Re}\left(\alpha I_1{I}_3\right)d\xi ;\partial f_y/\partial \Delta =C\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\sin }^2\left(a\xi \right)\mathrm{Re}\left(\alpha \right(I_1{I}_4-I_2^2\left)\right)d\xi .\end{array}\right.$ (7)

 

Здесь $С=\frac{16{\mu }_0\gamma I^2}{{\pi }^2}$; $\alpha ={\left(\ln \frac{\gamma +1}{\gamma -1}+i\pi \right)}^{-1}$; $I_i\left(\xi \right)\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{J_i\left(\xi \right)\sin \left(b\eta \right)}{kr-i\xi }{e}^{-kh}(i=\mathrm{1,...4})$;

$J_1\left(\eta \right)=\cos \left(\Delta \eta \right)/\eta$; $J_2\left(\eta \right)=\sin \left(\Delta \eta \right)$;$J_3\left(\eta \right)=k{J}_1\left(\eta \right)$; $J_4\left(\eta \right)=\eta \cos \left(\Delta \eta \right)$.

 

Величина ∂f_y/∂Δ имеет смысл боковой жёсткости подвеса, её выражение получено дифференцированием формулы для f_y.

Подстановка представленного выше конкретного выражения для V (k) в формулу (5) приводит к её кардинальному упрощению: перейдя в интеграле (5) к полярным координатам k, φ (ξ=k cosφ, η=k sinφ) можно заметить, что интеграл по k вычисляется аналитически, в результате чего формула для электродинамической силы F₀ приобретает следующий вид

$F_{\text{0}}=\frac{{\mu }_{0}l}{{\pi }^2}\left(\frac{l}{2}{e}_{\text{z}}-e_{\text{z}}\right)\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\ln \left\{\frac{{(1+A^2{\cos }^2\varphi )}^2{(1+B^2{\sin }^2\varphi )}^2}{(1+{(A\cos \varphi +B\sin \varphi )}^2)(1+{(A\cos \varphi -B\sin \varphi )}^2)}\right\}\times \frac{d\varphi }{{\sin }^2\varphi (4+l^2{\cos }^2\varphi )}$ (8)

Здесь А=a/h, B=b/h.

Методика численных расчетов

Для проведения конкретных расчётов по представленным формулам осталось рационально выбрать метод численного интегрирования. Расчет интеграла (8) не вызывает трудностей, для него можно воспользоваться любой несложной квадратурной формулой. Фактически применялась формула Гаусса с десятью или двадцатью четырьмя (в зависимости от конкретных значений параметров) узлами.

Расчет интегралов, содержащихся в (7), представляет большую трудность вследствие бесконечности промежутка интегрирования и быстрой осцилляции подынтегральной функции. Для расчета интегралов такого типа целесообразно использовать метод Филона [15]. Отметим, что в подынтегральном выражении для I₁(ξ) имеется устранимая особенность: sin bη, поэтому при расчёте этого интеграла по методу Филона необходимо отделить некоторую малую окрестность нуля и интеграл по этой окрестности вычислять отдельно.

Анализ результатов расчетов

Результаты проведенных расчетов представлены на Рис. 3, 4. Все графики на этих рисунках изображают зависимость левитационных характеристик от величины бокового смещения экипажного электромагнита относительно симметричного положения. Величина смещения отложена в относительных единицах Δ/2b, где 2b – ширина электромагнита. Расчёты отвечают следующему набору данных: высота подвеса h=22см, длина магнита 2а=1м, ширина магнита 2b=30 см, толщина полотна – 5 мм, удельная проводимость материала путевого полотна σ =3,4∙10⁷(Ом∙м).

Поскольку цель введения продольного стыка состоит в придании ЭДП боковой устойчивости, наибольший интерес представляет боковая, то есть y-компонента левитационной силы. Зависимость этой компоненты от величины смещения представлена на Рис. 3.

 

Рис. 3. Зависимость вращающей силы от бокового смещения

 

Рис. 4. Зависимость боковой жесткости от смещения Δ

 

Как видно из этого графика, система подвеса с продольным стыком в полотне обладает боковой устойчивостью (компонента f_y носит характер возвращающей силы).

Речь при этом идёт о статической устойчивости. При малых смещениях зависимость f_y от Δ близка к линейной, с увеличением смещения возвращающая сила увеличивается несколько медленнее линейной функции. По оси ординат на рис. 3 отложено отношение боковой силы к весу экипажа, приходящемуся на один магнит – Р, вес этот считается равным подъёмной силе при нулевом смещении. Кривая на рис.4 представляет зависимость боковой жёсткости от смещения Δ. Наибольшей боковой жесткостью подвес обладает при нулевом смещении.

Эта жёсткость ненамного превосходит 0,08 веса экипажа при смещении на одну сотую ширины магнита.

Кривые на Рис. 3, 4 получены из расчётов по представленным выше формулам, отвечающим случаю бесконечно широкого полотна. Поскольку в при такой расчётной модели краевой дестабилизирующий эффект не проявляется, то есть основания полагать, что краевой эффект снизит значение возвращающей силы и боковую жёсткость, тем не менее, система ЭДП с продольным стыком сохранит устойчивость в боковом направлении.

Сравнение предлагаемого способа боковой стабилизации с иными способами приводит к выводу о том, любой из известных способов стабилизации приводит к:

1) усложнению конструкции подвеса;

2) ухудшению других левитационных характеристик ЭДП.

Рассматриваемый способ стабилизации не является исключением. С точки зрения усложнения конструкции подвеса стабилизация с помощью продольного стыка обладает заметным преимуществом перед другими способами поскольку экипажная часть системы не изменяется вовсе, расход материала на единицу длины трассы остаётся прежним, а усложнение путевого полотна минимально.

Заключение

Выражения (5 и 6-7) полностью решают поставленную задачу по определению характеристик боковой стабилизации экипажа с электродинамическим подвесом при наличии продольного стыка в путевом полотне в рамках принятых допущений.

Сравнение с большинством других предлагавшихся способов стабилизации также не позволяет выявить решающих преимуществ или недостатков нового способа. В большинстве случаев его серьёзным недостатком является относительно низкое левитационное качество. Этот недостаток в значительной степени теряет своё значение, если движение экипажа ВСНТ происходит преимущественно с высокой скоростью, при которой сила аэродинамического сопротивления превалирует над силой электродинамического торможения.

Столь же условным является и упомянутое выше достоинство рассматриваемой системы – высокая боковая жёсткость. Причина в том, что требования на боковую жёсткость могут быть количественно сформулированы лишь применительно к конкретной трассе ВСНТ с учётом графика движения и других факторов. Как известно, главными дестабилизирующими воздействиями в боковом направлении являются сила инерции при движении по криволинейному участку и боковой ветер. Интенсивность первого из этих факторов зависит от кривизны пути и скорости движения, второго – от того движется ли экипаж в туннеле, углублении, на уровне земли, или по высокой эстакаде, от формы корпуса экипажа, от требований всепогодности.

Свою роль в выборе системы стабилизации могут сыграть и задачи, решаемые другими подсистемами системы ВСНТ. Играет роль также принцип действия и конструкция системы тяги. Так, если тяга осуществляется посредством СЛД с вертикальными обмотками, наиболее привлекательным является способ стабилизации с помощью КССНТ (комбинированная система стабилизации, направления, тяги) [16] . В то же время вертикальное расположение электромагнитов тяги накладывает определённые ограничения на конструкцию экипажа и исключает возможность использования СЛД для создания дополнительного подъемного усилия, а последнее могло бы, в частности смягчить недостатки способа стабилизации с помощью стыка в части подъемной силы и левитационного качества.

Из сказанного ясно, что окончательный выбор системы боковой стабилизации на настоящем этапе исследований был бы преждевременным. Предложенный и изученный в этом статье новый способ стабилизации следует рассматривать как ещё один из возможных наряду с предлагавшимися ранее. Ответ на вопрос о конкурентоспособности нового способа должен быть привязан к характеристикам конкретной трассы ВСНТ. Необходимо и дальнейшее уточнение результатов, связанное с более строгим учётом краевого эффекта, а также рассмотрением случая неизолированного стыка.

Об авторах

Константин Эммануилович Воеводский

Санкт-Петербургский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: kv5832@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-0519-5527
SPIN-код: 2579-7541

к.т.н., доцент

Россия, Санкт-Петербург

Владимир Михайлович Стрепетов

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

Email: strepetov.vm@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-4072-4519
SPIN-код: 4649-2141
https://www.pgups.ru/sveden/employees/strepetov-vladimir-mikhaylovich

к.т.н., доцент

Россия, Санкт-Петербург

Геннадий Евгеньевич Середа

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

Email: gennady.sereda@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-0754-6682
SPIN-код: 9682-8744
https://www.pgups.ru/sveden/employees/sereda-gennadiy-evgenevich

к.т.н., доцент

Россия, Санкт-Петербург

Список литературы

Дополнительные файлы