Определение индуктивности экипажного электромагнита магнитолевитацинной транспрортной системы

Полный текст

Введение

Использование инновационных технологий как в пассажирских, так и в грузовых транспортных перевозках на основе магнитолевитационных транспортных систем способствует повышению их экономичности и экологичности [1–3].

Одним из вариантов магнитного подвешивания является комбинированная система левитации и тяги на однофазном переменном токе. В таком случае питание электромагнитов производится от статических преобразователей частоты. Допустимые значения напряжения ограничиваются параметрами используемых силовых полупроводниковых приборов (СП). У современных СП допустимое напряжение составляет 5000 В [4–6].

Величина требуемого напряжения на электромагнитах пропорциональна их индуктивности. При этом точность установления индуктивности во многом определяет достоверность результатов исследований электромеханических систем.

Расчет индуктивности проводящих систем – как правило, технически сложная процедура, связанная с громоздкими вычислениями даже для самых простых форм электромагнитов.

Множество справочников по вычислению указанных величин (см., например, библиографию в [7–9]) содержит в основном наборы приближенных формул, у которых точность и зоны их применимости указаны далеко не всегда.

Данная статья посвящена установлению величины индуктивности L для катушек определенной конфигурации, у которых величина «высоты» электромагнита пренебрежимо мала по сравнению с другими геометрическими размерами катушки. Такие электромагниты будем называть бесконечно тонкими (плоскими) источниками магнитного поля.

Следует заметить, что величина индуктивности существенно зависит от частоты протекающего по катушке тока. Будем предполагать, что ток I, определяющий магнитное поле системы, слабо меняется, т. е. величина скин-слоя проводника значительно превосходит поперечный размер провода, составляющего катушку.

Методология расчета

Общая формула для определения индуктивности плоского источника магнитного поля L_T задается соотношением [7]

 

$L_T=\frac{{\mu }_0{W}^2}{4\pi I^2}\underset{S}{\int }d\rho \underset{S^{\text{'}}}{\int }d{\rho }^{\text{'}}\left(i,i^{\text{'}}\right)/\left|\rho -{\rho }^{\text{'}}\right|,$ (1)

где $d\rho =dxdy,d{\rho }^{\text{'}}=d{x}^{\text{'}}d{y}^{\text{'}};$ ${\left|\rho -{\rho }^{\text{'}}\right|}^2={\left(x-x^{\text{'}}\right)}^2+{\left(y-y^{\text{'}}\right)}^2;$  

(x, y) и (x^', y^') – подходящие декартовы координаты;

 i и i^' – линейные плотности тока;

 S ≡ S^' – токонесущая поверхность катушки;

 W – число витков катушки;

 μ₀ = 4π·10^–7 Гн/м – магнитная постоянная вакуума.

Рассмотрим одновитковую катушку ($W=1$), индуктивность реального электромагнита пропорциональна квадрату числа витков. В качестве источника магнитного поля рассмотрим электромагнит прямоугольной формы (рис. 1).

 

Рис. 1. Расчетная схема экипажного электромагнита

 

Отметим, что на геометрические параметры данного плоского электромагнита накладывается естественное ограничение: $0<w\le \min (a,b).$

Для рассматриваемой конфигурации источника магнитного поля модуль линейной плотности тока определяется равенством $i=i^{\text{'}}=I/2w.$ Переходя в (1) к безразмерным координатам и совершая там же первичное двукратное интегрирование, можно получить следующее выражение для индуктивности плоской катушки прямоугольной формы L:

$L=\frac{2{\mu }_{0}p}{\pi }\left(L\left(\alpha \right)+L\left(\beta \right)-M(\alpha ,\beta )-M(0,\text{\hspace{0.33em}}0)\right),$ (2)

где   

$L\left(\nu \right)=\frac{1}{2}\underset{-\delta }{\overset{\delta }{\int }}du\underset{-\delta +\left|u\right|+\nu }{\overset{\delta -\left|u\right|+\nu }{\int }}dvT(u,v),\nu =\alpha ,\beta ;$ (3)

$M(\alpha ,\beta )=\underset{-\delta }{\overset{\delta }{\int }}du(\delta -\left|u\right|)T(u+\alpha ,u+\beta );$ (4)

$2{\delta }^{2}T(u,v)=uln\frac{m+u}{m-u}+vln\frac{m+v}{m-v}-4m.$ (5)

В равенствах (2)–(5) приняты обозначения:

$\alpha =a/p;\beta =b/p;\delta =w/p;p=a+b;m^2=u^2+v^2.$ (6)

В качестве нормирующего множителя при переходе к безразмерным координатам в (2) выбрана величина 2p – полупериметр катушки по средней линии.

Дальнейшее интегрирование квадратуры в (3) приводит к окончательной формуле для :

$\frac{L\left(\nu \right)}{\nu }=ln\frac{1+r}{\epsilon }-\frac{1}{\epsilon }ln(\epsilon +r)-\frac{{(2+r)}^2-2}{3(1+r)}-$ $-\frac{1}{3\sqrt{2}{\epsilon }^2}\sum _{k=\pm 1}{(1+k\epsilon )}^{3}ln\frac{1+\sqrt{2}r-k\epsilon }{(1+\sqrt{2})(\text{1}+k\epsilon )},$ (7)

где   $r^2=1+{\epsilon }^2;\epsilon =\delta /\nu ;(0<\epsilon \le 1).$

Слагаемое в сумме из (7) при $k=-1$ и $\epsilon =1$ доопределяется нулевым значением.

Выражение для $M(\alpha ,\beta )$ из (4) также может быть получено после соответствующих интегральных преобразований:

$M(\alpha ,\beta )=\sum _{k=\pm 1}\left(Q_k(\alpha ,\beta )-Q_0(\alpha ,\beta )\right),$  (8)

где

$Q_k(\alpha ,\beta )\equiv Q({\alpha }_k,{\beta }_k);{\nu }_k=\nu +k\delta ;\nu =\alpha ,\beta .$  (9)

Функция $Q(u,v)$ в (9) представляет собой сумму пяти слагаемых:

$2{\delta }^{2}Q(u,v)=\frac{s^{2}d}{8}ln\frac{u(m+u)}{v(m+v)}+\frac{s{d}^2}{\sqrt{2}}\times$ $\times ln\frac{\sqrt{2}m+s}{\sqrt{2}\left|d\right|}+\frac{5d^3}{12}ln\frac{m+d}{\sqrt{2uv}}+\frac{s}{6}(uv-2d^2)\times$ $\times ln\frac{(m+u)(m+v)}{uv}-\frac{2m}{3}(d^2+uv),$ (10)

 

где   $s=u+v;d=u-v=\alpha -\beta .$

Случай $u=0(v=0)$ в (10) отвечает ситуации, когда «окно» катушки представляет собой бесконечно тонкую щель, т. е. $\delta =min(\alpha ,\beta ),$ формула (10) при этом доопределяется по непрерывности:

$Q(u,0)=Q(0,u)=u^3\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\frac{2}{3}\right).$  (11)

Второе слагаемое в (10) при $\alpha =\beta (d=0)$ равно нулю.

Предельный вариант, задающий плоский электромагнит в форме «проколотого» по центру квадрата $\left(\alpha =\beta =\delta \right)$, приводит к соотношению $Q\left(0,0\right)=0.$

Поскольку при выводе выражения $M(\alpha ,\beta )$ из (8) использовалось условие $\alpha +\beta =1,$ формула для $M(0,0)$ не может быть определена посредством равенств (8)–(10), а должна вычисляться непосредственно интегрированием квадратуры (4) с учетом равенств $\alpha =\beta =0,$ при этом

$M(0,0)=\frac{2\delta }{3}\left(ln(1+\sqrt{2})-\sqrt{2}\right).$  (12)

Равенства (2)–(12) полностью исчерпывают задачу определения точной формулы по расчету коэффициента самоиндукции плоской катушки прямоугольной формы.

Выражение для $L$ при выполнении условия $\delta <<\min (\alpha ,\beta )$ существенно упрощается, и в результате совершения в (2)–(11) предельного перехода можно получить

 ${\left.L\right|}_{\delta <<min\left(\alpha ,\beta \right)}=\frac{2{\mu }_{0}p}{\pi }\left\{ln\frac{2\alpha \beta }{\delta }-\alpha ln(\alpha +\gamma )-\right.$ $\left.-\beta \ln (\beta +\gamma )-\frac{1}{2}+2\gamma +\frac{2\delta }{3}\left(\sqrt{2}-ln(1+\sqrt{2})\right)\right\},$

где  ${\gamma }^2={\alpha }^2+{\beta }^2.$ 

Несмотря на некоторую громоздкость соотношений (2)–(11), входящие в них формулы элементарны, легко программируются и – что очень важно – представляют собой процедуру вычисления точного значения искомого коэффициента самоиндукции L.

Величину $L$ целесообразно рассчитывать в безразмерном виде. В качестве базовой выберем величину индуктивности плоской катушки $L_0,$ представляющей собой квадрат с «проколотым» центром. После соответствующих вычислений по формулам (2)–(12) при $\alpha =\beta =\delta$ можно записать

$L_D=\frac{{\mu }_{0}P}{\pi }\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1+ln(1+\sqrt{2})}{1+\sqrt{2}}\approx 2,078\cdot {10}^{-7}P,$ (13)

где $P=4p$  – периметр квадратной катушки по средней линии.

Результаты численного анализа, показывающего зависимость относительной индуктивности $L_T/L_D$ от параметра e при различных значениях «вытянутости» катушки ς, представлены на рис. 2 (числа у кривых соответствуют значениям «вытянутости» катушки). Параметры e и ς: $e=w/\min (a,b),$ $\varsigma =\max (a,b)/\min (a,b).$  Пунктирная линия отвечает приближенной формуле ${\left.L\right|}_{\delta <<\min \left(\alpha \beta \right)}/L_D$ при $\varsigma =1.$ В расчетах периметр катушки по средней линии $P=4p$ принимается постоянным, $L_D$ определено в (13).

 

Рис. 2. Зависимость относительной индуктивности плоской катушки прямоугольной формы LT/LD от параметра e

 

Заключение

Получено точное аналитическое выражение для величины индукции «тонкого» источника магнитного поля прямоугольной формы в виде алгебраической суммы элементарных функций.

Выведена приближенная формула для вычисления коэффициента самоиндукции, погрешность которой не превышает 14 % в области изменений всех геометрических параметров электромагнита.

Полученные формулы относительно просты по структуре и легко программируются.

Об авторах

Геннадий Евгеньевич Середа

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

Автор, ответственный за переписку.
Email: gennady.sereda@mail.ru

к. т. н., доцент

Россия

Владимир Михайлович Стрепетов

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

Email: strepetov.vm@mail.ru

к. т. н., доцент

Россия

Список литературы

Дополнительные файлы