Determination of Inductance of Vehicle Electromagnet in Magnetic Levitation Transprort System

Cover Page

Abstract


Objective. Of the work consists in receiving new analytic expressions for determination of inductance of vehicular electromagnets of transport levitation systems. Methods. The key feature of calculation model of onboard coils in accordance with their inductance on the example of squared electromagnets lies an assumption about a smallness of the size «heights» in comparison with its other geometrical sizes. There is also an assumption that thickness of a skin layer of the conductor significantly surpasses cross sectional size of the wire making the coil. The single-turn coil is considered, inductance of an actual electromagnet is accepted proportional to a square of the number of turns. When calculating inductance the dimensionless quantities are used. As an absolute, a quarter of perimeter of the coil on the centerline is chosen. The condition of obtaining the approximate formula for calculation of inductance of the flat rectangular coil is the small thickness of a winding in comparison with the geometrical sizes of the coil. Results. Accurate analytical expression for inductance of a «thin» source of squareshaped magnetic field as the algebraic sum of elementary functions has been received. Results of a numerical analysis show dependence of the relative inductance of the square-shaped flat coil on thickness relation to its minimum size. Influence of «elongation» of the coil (relation of length to width) is investigated. It is noted that inductance decreases with decrease of «elongation», and also with increase in the relation of thickness to the minimum size. Practical importance. The approximate formula for calculation of value of inductance has been obtained. Its uncertainty does not exceed 14 % in the areas of changes of all geometrical parameters of an electromagnet is output. Borders of practical application of the received analytic expressions at the accepted assumptions have been set. The received expressions are fairly simple structurally and are easily programmed

Введение Использование инновационных технологий как в пассажирских, так и в грузовых транспортных перевозках на основе магнитолевитационных транспортных систем способствует повышению их экономичности и экологичности [1-3]. 75 SCIENTIFIC AND PRACTICAL DEVELOPMENT Одним из вариантов магнитного подвешивания является комбинированная система левитации и тяги на однофазном переменном токе. В таком случае питание электромагнитов производится от статических преобразователей частоты. Допустимые значения напряжения ограничиваются параметрами используемых силовых полупроводниковых приборов (СП). У современных СП допустимое напряжение составляет 5000 В [4-6]. Величина требуемого напряжения на электромагнитах пропорциональна их индуктивности. При этом точность установления индуктивности во многом определяет достоверность результатов исследований электромеханических систем. Расчет индуктивности проводящих систем - как правило, технически сложная процедура, связанная с громоздкими вычислениями даже для самых простых форм электромагнитов. Множество справочников по вычислению указанных величин (см., например, библиографию в [7-9]) содержит в основном наборы приближенных формул, у которых точность и зоны их применимости указаны далеко не всегда. Данная статья посвящена установлению величины индуктивности L для катушек определенной конфигурации, у которых величина «высоты» электромагнита пренебрежимо мала по сравнению с другими геометрическими размерами катушки. Такие электромагниты будем называть бесконечно тонкими (плоскими) источниками магнитного поля. Следует заметить, что величина индуктивности существенно зависит от частоты протекающего по катушке тока. Будем предполагать, что ток I, определяющий магнитное поле системы, слабо меняется, т. е. величина скин-слоя проводника значительно превосходит поперечный размер провода, составляющего катушку. Общая формула для определения индуктивности плоского источника магнитного поля LT задается соотношением [7] (x, y) и (x', y') - подходящие декартовы координаты; i и i - линейные плотности тока; S = S - токонесущая поверхность катушки; W - число витков катушки; ц0 = 4п-10-7 Г н/м - магнитная постоянная вакуума. Методология расчета (1) где dp = dxdy, dp = dx' dy'; p - p'|2 = (x - x)2 +( y - y')2; 76 НАУЧНЫЕ И ПРАКТИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ Рассмотрим одновитковую катушку ( W = 1 ), индуктивность реального электромагнита пропорциональна квадрату числа витков. В качестве источника магнитного поля рассмотрим электромагнит прямоугольной формы (рис. 1). 2w y» y \ t I -b b a x, x 0 Рис. 1. Расчетная схема экипажного электромагнита Отметим, что на геометрические параметры данного плоского электромагнита накладывается естественное ограничение: 0 < w < min(a, b). Для рассматриваемой конфигурации источника магнитного поля модуль линейной плотности тока определяется равенством i = i'= I/ 2w. Переходя в (1) к безразмерным координатам и совершая там же первичное двукратное интегрирование, можно получить следующее выражение для индуктивности плоской катушки прямоугольной формы L: L = ( L(a) + L(ß) - M (a, ß) - M (0, 0) ), (2) П где 6 6-I u |+v L(v) = - j du j d v T (u, v), v = a, ß; (3) 2 -6 -6+u I +v 6 M (a, ß) =j du(6 - |u |) T (u + a, u + ß); (4) -6 ^o2^/ ч r m + u , m + v. ґ N 26 T (u, v ) = uln--+ vln--4m. (5) m - u m - v В равенствах (2)-(5) приняты обозначения: a = a/p ; ß = b/p; 6 = w/p ; p = a + b; m2 = u2 + v2. (6) 77 SCIENTIFIC AND PRACTICAL DEVELOPMENT В качестве нормирующего множителя при переходе к безразмерным координатам в (2) выбрана величина 2p - полупериметр катушки по средней линии. Дальнейшее интегрирование квадратуры в (3) приводит к окончательгде r2 = 1 + є2; s = ö/v; (0<є< 1). Слагаемое в сумме из (7) при к = -1 и є = 1 доопределяется нулевым значением. Выражение для M (а, ß) из (4) также может быть получено после соответствующих интегральных преобразований: где s = u + v ; d = u - v = a-ß. Случай u = 0 (v = 0) в (10) отвечает ситуации, когда «окно» катушки представляет собой бесконечно тонкую щель, т. е. 5 = min(a, ß), формула (10) при этом доопределяется по непрерывности: ной формуле для L(v ): v є є 3(1 + r ) (7) 3V2 є2 1 где Qk (а ß) = Q(ak, ßk); vk = v+k5; v = aß. (9) Функция Q(u, v) в (9) представляет собой сумму пяти слагаемых: л/2 m + s 5 d 3 , m + d s + - (uv-2d2 ) x (10) uv 3 78 НАУЧНЫЕ И ПРАКТИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ Второе слагаемое в (10) при а = ß(d = 0) равно нулю. Предельный вариант, задающий плоский электромагнит в форме Поскольку при выводе выражения M(а, ß) из (8) использовалось условие a + ß = 1, формула для M (0,0) не может быть определена посредством равенств (8)-(10), а должна вычисляться непосредственно интегрированием квадратуры (4) с учетом равенств а = ß = 0, при этом Равенства (2)-( 12) полностью исчерпывают задачу определения точной формулы по расчету коэффициента самоиндукции плоской катушки прямоугольной формы. Выражение для L при выполнении условия 8 « min(a, ß) существенно упрощается, и в результате совершения в (2)-( 11) предельного перехода можно получить где у2 =а2 + ß2. Несмотря на некоторую громоздкость соотношений (2)-(11), входящие в них формулы элементарны, легко программируются и - что очень важно - представляют собой процедуру вычисления точного значения искомого коэффициента самоиндукции L. Величину L целесообразно рассчитывать в безразмерном виде. В качестве базовой выберем величину индуктивности плоской катушки L0, представляющей собой квадрат с «проколотым» центром. После соответствующих вычислений по формулам (2)-(12) при а = ß = 5 можно записать п з 1+V2 (13) 79 SCIENTIFIC AND PRACTICAL DEVELOPMENT где P = 4p - периметр квадратной катушки по средней линии. Результаты численного анализа, показывающего зависимость относительной индуктивности LT /Ld от параметра e при различных значениях «вытянутости» катушки ç, представлены на рис. 2 (числа у кривых соответствуют значениям «вытянутости» катушки). Параметры e и ç: e = wmin(a, b), ç = max(a, b)/min(a, b). Пунктирная линия отвечает приближенной формуле L5«mn(aß)/LD при ç = 1. В расчетах периметр катушки по средней линии P = 4p принимается постоянным, определено в (13). Рис. 2. Зависимость относительной индуктивности плоской катушки прямоугольной формы Lt/Ld от параметра e Заключение Получено точное аналитическое выражение для величины индукции «тонкого» источника магнитного поля прямоугольной формы в виде алгебраической суммы элементарных функций. Выведена приближенная формула для вычисления коэффициента самоиндукции, погрешность которой не превышает 14 % в области изменений всех геометрических параметров электромагнита. Полученные формулы относительно просты по структуре и легко программируются.

Gennady E Sereda

gennady.sereda@mail.ru
Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University

Cand. sci. (Eng.), Associate Prof.

Vladimir M Strepetov

strepetov.vm@mail.ru
Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University

Cand. sci. (Eng.), Associate Prof.

  • Антонов Ю.Ф. Магнитолевитационная транспортная технология / Ю. Ф.Антонов, А.А. Зайцев; под ред. В.П. Гапановича. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. - 476 с. - ISBN 978-5-9221-1540-7.
  • Зайцев А.А. Транспорт на магнитном подвесе / А.А. Зайцев, Г.Н. Талашкин, Я.В. Соколова; под ред. А.А. Зайцева. - СПб.: ПГУПС, 2010. - 160 с. - ISBN 978-5-7641-0262-7.
  • Зайцев А.А. Контейнерный мост Санкт-Петербург - Москва на основе левитации / А.А. Зайцев, Ю. Ф. Антонов // Магнитолевитационные транспортные системы и технологии. МТСТ-14: Труды 2-й международной науч. конф., Санкт-Петербург, 17-20 июня 2014 г.; под ред. проф. Ю.Ф. Антонова. - Киров: МЦНИП, 2014. - С. 11-23. - ISBN 978-5-00090-036-9.
  • Литовченко В.В. 4q-s - четырехквадрантный преобразователь электровозов переменного тока (принцип работы, анализ и экспериментальные исследования) / В.В. Литовченко // Изв. вузов. Электромеханика. - 2000. -№ 3. - С. 63-73.
  • Семенов Б.Ю. Силовая электроника для любителей и профессионалов / Б.Ю. Семенов. - М.: Солон-Р, 2001. - 327 с.
  • Силовые преобразовательные устройства НИИЭФА-ЭНЕРГО. -СПб.: ДиО, 2001. - 15 с.
  • Калантаров П.Л. Расчет индуктивностей / П.Л. Калантаров, Л.А. Цейтлин. - Л.: Энергоиздат, 1986. - 488 с.
  • Матвеев А.Н. Электродинамика / А.Н. Матвеев. - М.: Высш. шк., 1980. - 383 с.
  • Немцов М.В. Справочник по расчету параметров катушек индуктивности / М.В. Немцов, Ю.М. Шамаев. - М.: Энергоиздат, 1981. - 136 с.

Views

Abstract - 43

PDF (Russian) - 39

PDF (English) - 12

PlumX


Copyright (c) 2017 Sereda G.E., Strepetov V.M.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.