Новый метод расчета напряженного состояния в сыпучих материалах при плоскодеформированном состоянии

Полный текст

Введение

Для плоскодеформированного состояния идеально жесткопластического и идеально упругопластического тела уравнения для напряжений в пластической зоне состоят из условия текучести и двух уравнений равновесия. Эта система уравнений может быть исследована без привлечения закона течения. Во многих случаях отмеченная система уравнений является гиперболической [1]. Определение поля напряжений сводится к определению поля характеристик. При условии текучести, которое не зависит от среднего напряжения, широко применяются два метода построения поля характеристик: R–S-метод, предложенный в [2], и метод координат Михлина [1, 3, 4]. Целесообразность применения того или иного метода зависит от заданных краевых условий. Для сыпучих сред условие текучести зависит от среднего напряжения [5, 6]. Как следует из современных обзорных работ [7, 8], до настоящего времени наиболее широко применяемым условием текучести такого типа является условие Кулона – Мора. В частности, это условие в основном используется в получившей широкое распространение модели [9] и в современной модели для гранулированных и сыпучих материалов, развитой в [10]. Для построения поля характеристик системы уравнений, состоящей из условия текучести Кулона – Мора и уравнений равновесия, R–S-метод обобщен в [11]. В публикуемой работе для построения поля характеристик этой системы уравнений обобщается метод координат Михлина. Показано, что когда оба семейства характеристик криволинейны, решение краевой задачи сводится к решению телеграфного уравнения. Методы решения этого уравнения при краевых условиях, типичных для моделей идеально жесткопластического и идеально упругопластического тела, хорошо изучены [1, 3, 4]. Отметим, что предлагаемый метод определения напряженного состояния может использоваться и для ряда металлических материалов, как следует из [12–15].

Обобщенные координаты Михлина

Рассмотрим произвольную плоскую ортогональную систему координат $(\xi ,\eta )$ и декартову систему координат $(x,y).$ Обе системы координат показаны на рис. 1. Рассмотрим произвольную точку P, определяемую радиусом-вектором R, начало которого совпадает с началом декартовой системы координат. Введем прямолинейную координату $\overline{y},$ отсчитываемую от начала декартовой системы координат по направлению координаты $\eta$ в точке P, и прямолинейную координату $\overline{x}$, отсчитываемую от начала декартовой системы координат по направлению координаты $\xi$ в точке P. Пусть $e_1$ и $e_2$ – единичные векторы по направлениям осей $\overline{x}$ и $\overline{y},$ соответственно.

Так как криволинейные координаты ортогональны, то очевидно, что ортогональны и координаты Михлина (рис. 1). Характеристики системы уравнений, состоящей из условия текучести, не зависящего от среднего напряжения, и уравнений равновесия, ортогональны. Поэтому можно принять, что $(\xi ,\eta )$ являются характеристическими координатами. В этом случае величины $\overline{x}$ и $\overline{y}$ по отдельности удовлетворяют телеграфному уравнению [1, 3, 4]. Характеристики системы уравнений, состоящей из условия текучести Кулона – Мора и уравнений равновесия, не являются ортогональными [5]. Обозначим соответствующие характеристические координаты $(\alpha ,\beta ).$ Без ограничения общности можно принять, что направление максимального (в алгебраическом смысле) главного напряжения ${\sigma }_1$ проходит через первый и третий квадранты (рис. 2).

 

Рис. 1. Ортогональные координаты Михлина

 

Тогда координаты Михлина $(\overline{x},\overline{y})$ точки P определяются из уравнения

$\mathit{R}={\overline{x\mathit{e}}}_1+{\overline{y\mathit{e}}}_2.$ (1)

Угол между направлением этого главного напряжения и каждым из характеристических направлений равен $\pi /4+\varphi /2$ [5], где $\varphi$ – угол внутреннего трения. Если угол внутреннего трения является постоянной величиной, то угол между координатными кривыми характеристической системы координат тоже всюду является постоянной величиной. Обобщим для таких систем координат определение координат Михлина. Аналогично случаю ортогональных систем координат введем прямолинейную координату $\overline{y},$ отсчитываемую от начала декартовой системы координат по направлению координаты $\beta$ в точке P, и прямолинейную координату $\overline{x},$ отсчитываемую от начала декартовой системы координат по направлению координаты $\alpha$ в точке P. Очевидно, что теперь система координат $\left(\overline{x},\overline{y}\right)$ не является ортогональной. Тем не менее, уравнение (1) имеет силу, если векторы $e_1$ и $e_2$ направлены вдоль новых осей $\overline{x}$ и $\overline{y},$ соответственно. Это уравнение можно переписать в виде

$x\mathit{i}+y\mathit{j}={\overline{x\mathit{e}}}_{\mathrm{1}}+{\overline{y\mathit{e}}}_{\mathrm{2}},$ (2)

где $i$ и $j$ – орты декартовой системы координат. Пусть $\phi$ – угол между осью x и касательной к линии $\alpha$ в точке P. Тогда по определению $\phi$ – угол между осями x и $\overline{x}$ в точке O. Из геометрических соображений (рис. 2) получим

$\mathit{i}\cdot {\mathit{e}}_1=\cos \phi ,\mathbf{\text{i}}\cdot {\mathit{e}}_2=-\sin (\phi +\varphi ),\mathbf{\text{j}}\cdot {\mathit{e}}_1=\sin \phi ,\mathbf{\text{j}}\cdot {\mathit{e}}_2=\cos (\phi +\varphi ).$ (3)

 

Рис. 2. Обобщенные координаты Михлина

 

Умножение уравнения (2) скалярно на вектор i дает $x=\overline{x\mathit{i}}\cdot {\mathit{e}}_{\mathrm{1}}+\overline{y\mathit{i}}\cdot {\mathit{e}}_{\mathrm{2}},$ а на вектор j $y=\overline{x\mathit{j}}\cdot {\mathit{e}}_1+\overline{y\mathit{j}}\cdot {\mathit{e}}_2.$ Исключая в этих уравнениях скалярные произведения единичных векторов с помощью (3), находим

$x=\overline{x}\cos \phi -\overline{y}\sin (\phi +\varphi );y=\overline{x}\sin \phi +\overline{y}\cos (\phi +\varphi ).$ (4)

Решая эти уравнения относительно $\overline{x}$ и $\overline{y},$ получим

 $\overline{x}=\frac{x\cos (\phi +\varphi )+y\sin (\phi +\varphi )}{\cos \varphi };\overline{y}=\frac{y\cos \phi -x\sin \phi }{\cos \varphi }.$

Дифференцируя первое уравнение по $\beta$, а второе по $\alpha$, найдем

$\begin{array}{l}\frac{\partial \overline{x}}{\partial \beta }\cos \varphi =\frac{\partial x}{\partial \beta }\cos (\phi +\varphi )+\frac{\partial y}{\partial \beta }\sin (\phi +\varphi )+\\ +\left[y\cos (\phi +\varphi )-x\sin (\phi +\varphi )\right]\frac{\partial \phi }{\partial \beta };\\ \frac{\partial \overline{y}}{\partial \alpha }\cos \varphi =\frac{\partial y}{\partial \alpha }\cos \phi -\frac{\partial x}{\partial \alpha }\sin \phi -(y\sin \phi +x\cos \phi )\frac{\partial \phi }{\partial \alpha }.\end{array}$ (5)

Уравнения характеристик имеют вид [5]

$\frac{dy}{dx}=\text{tg}\phi ,\frac{dy}{dx}=\text{tg}\left(\phi +\varphi +\frac{\pi }{2}\right)=-\text{ctg(}\phi +\varphi \text{)}.$ (6)

Здесь первое уравнение определяет линии семейства  а второе – линии семейства  Уравнения (6) могут быть переписаны в виде

$\frac{\partial y}{\partial \alpha }=\text{tg}\phi \frac{\partial x}{\partial \alpha };\frac{\partial y}{\partial \beta }=-\text{ctg(}\phi +\varphi \text{)}\frac{\partial x}{\partial \beta }.$  (7)

Подставляя (7) в (5), получим

 $\begin{array}{l}\frac{\partial \overline{x}}{\partial \beta }\cos \varphi =\left[y\cos (\phi +\varphi )-x\sin (\phi +\varphi )\right]\frac{\partial \phi }{\partial \beta };\\ \frac{\partial \overline{y}}{\partial \alpha }\cos \varphi =-(y\sin \phi +x\cos \phi )\frac{\partial \phi }{\partial \alpha }.\end{array}$

Исключая в этих уравнениях x и y с помощью (4), найдем

$\frac{\partial \overline{x}}{\partial \beta }\cos \varphi =(\overline{y}-\overline{x}\sin \varphi )\frac{\partial \phi }{\partial \beta };\frac{\partial \overline{y}}{\partial \alpha }\cos \varphi =(\overline{y}\sin \varphi -\overline{x})\frac{\partial \phi }{\partial \alpha }.$ (8)

Единственное свойство системы координат $(\alpha ,\beta ),$ которое использовалось при выводе (8), состоит в том, что скалярное произведение ${\mathit{e}}_1\cdot {\mathit{e}}_2$ – постоянная величина.

Напряженное состояние в сыпучей среде

Уравнения (8) упрощаются при учете свойств характеристических кривых системы уравнений, состоящей из условия текучести Кулона – Мора и уравнений равновесия. В частности, в [11] показано, что

 

$\phi -{\phi }_0=(\alpha +\beta )\cos \varphi ,$ (9)

где ${\phi }_0$ – постоянная, введенная для удобства. Подставляя (9) в (8), найдем

$\frac{\partial \overline{x}}{\partial \beta }=\overline{y}-\overline{x}\sin \varphi ;\frac{\partial \overline{y}}{\partial \alpha }=\overline{y}\sin \varphi -\overline{x}.$ (10)

Отметим, что при $\varphi =0$ эти уравнения совпадают с уравнениями, получаемыми в теории пластичности материалов, условие текучести которых не зависит от среднего напряжения [1, 3, 4]. Введем новые зависимые переменные $\overline{X}$ и $\overline{Y}$ по формулам

$\overline{x}=\overline{X}\exp (n\alpha +m\beta );\overline{y}=\overline{Y}\exp (n\alpha +m\beta ).$ (11)

Здесь n и m – некоторые постоянные. Подставляя (11) в (10), получим

$\frac{\partial \overline{X}}{\partial \beta }+m\overline{X}=\overline{Y}-\overline{X}\sin \varphi ;\frac{\partial \overline{Y}}{\partial \alpha }+n\overline{Y}=\overline{Y}\sin \varphi -\overline{X}.$ (12)

Принимая $m=-\sin \varphi$ и $n=\sin \varphi ,$ приведем уравнения (12) к виду

$\frac{\partial \overline{X}}{\partial \beta }=\overline{Y};\frac{\partial \overline{Y}}{\partial \alpha }=-\overline{X}.$  (13)

Кроме того, уравнения (11) примут форму

$\overline{x}=\overline{X}\exp \left[(\alpha -\beta )\sin \varphi \right];\overline{y}=\overline{Y}\exp \left[(\alpha -\beta )\sin \varphi \right].$ (14)

Уравнения (13) приводятся к телеграфным уравнениям вида

$\frac{{\partial }^2\overline{X}}{\partial \alpha \partial \beta }+\overline{X}=0;\frac{{\partial }^2\overline{Y}}{\partial \alpha \partial \beta }+\overline{Y}=0.$  (15)

Эти уравнения решаются методом Римана. В частности, вдоль любого замкнутого контура имеет место уравнение

$\int \left[\left(G\frac{\partial f}{\partial \alpha }-f\frac{\partial G}{\partial \alpha }\right)d\alpha +\left(f\frac{\partial G}{\partial \beta }-G\frac{\partial f}{\partial \beta }\right)d\beta \right]=0.$

Здесь $f\equiv \overline{X}$ или $f\equiv \overline{Y}, G(a,b,\alpha ,\beta )$  – функция Грина. Причем

 $G(a,b,\alpha ,\beta )\equiv J_0\left[2\sqrt{(a-\alpha )(b-\beta )}\right],$

где  $J_0\left[2\sqrt{(a-\alpha )(b-\beta )}\right]$   – функция Бесселя нулевого порядка.

Имея решение уравнений (15), можно найти зависимость x и y от $\alpha$ и $\beta ,$ Действительно, уравнения (14) дают зависимость $\overline{x}$ и $\overline{y}$ от $\alpha$ и $\beta ,$ тогда уравнения (4) и (9) – зависимость x и y от  и  Зависимость квадратичного инварианта тензора напряжения от $\alpha$ и $\beta$ имеет вид [11]

$q=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}=q_0\exp \left[2(\beta -\alpha )\sin \varphi \right].$ (16)

где ${\sigma }_2$  – наименьшее (в алгебраическом смысле) главное напряжение;

$q_0$ – произвольная постоянная.

Условие текучести Кулона – Мора имеет вид

$q-p\sin \varphi =k\cos \varphi ,$  (17)

где $p=-({\sigma }_1+{\sigma }_2)/2$ и k – коэффициент сцепления, являющийся постоянной величиной. Уравнения (16) и (17) определяют ${\sigma }_1$ и ${\sigma }_2$ как функции $\alpha$ и $\beta .$ Учитывая (11), зависимости компонент тензора напряжения в декартовых координатах от $\alpha$ и $\beta$ находят с помощью стандартных уравнений преобразования компонент тензора в плоскости. Таким образом, с учетом имеющейся зависимости x и y от $\alpha$ и $\beta$ зависимости компонент тензора напряжения в декартовых координатах от x и y получены в параметрическом виде.

Заключение

Показано, что методы, развитые ранее для построения поля напряжений при плоской деформации материала, подчиняющегося условию текучести, не зависящему от среднего напряжения, с помощью координат Михлина, полностью применимы для материалов, подчиняющихся условию текучести Кулона – Мора. Для этого достаточно ввести обобщенные координаты Михлина $\overline{x}$ и $\overline{y}$ (рис. 2), а также вспомогательные функции $\overline{X}$ и $\overline{Y}$ по формулам (14). Эти вспомогательные функции удовлетворяют телеграфному уравнению (15). Такому же уравнению удовлетворяют координаты Михлина в теории пластичности, основанной на условии текучести, не зависящим от среднего напряжения. Методы решения соответствующих краевых задач хорошо развиты [1, 3, 4]. Все эти методы практически без изменений могут быть использованы для определения напряжений в сыпучей среде.

Об авторах

Сергей Евгеньевич Александров

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем механики РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: sergei_alexandrov@spartak.ru

д. ф. -м. н., доцент, в. н. с

Россия

Елена Алексеевна Лямина

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем механики РАН

Email: lyamina@inbox.ru

к. ф. -м. н., доцент

Россия

Список литературы

Дополнительные файлы