A New Method of Calculating the State of Stress in Granular Materials under Plane Strain Conditions

Cover Page

Abstract


The system of equations comprising the Mohr-Coulomb yield condition and the stress equilibrium equations may be studied independently of the flow law. This system of equations is hyperbolic. Accordingly, to solve the aforementioned system of equations, it is reasonable to apply the method of characteristics. In the special case of plasticity theory for materials whose yield criterion does not depend on the average stress, two methods are used to construct an orthogonal net of characteristics and to determine the stress field: the R-S method and Mikhlin’s coordinate method. In the case of the Mohr-Coulomb yield condition, the angle between the characteristic directions depends on the internal friction angle. Therefore, the above-mentioned methods should be generalised in accordance with this property of characteristics. Purpose. In the case of Plasticity theory for materials whose yield strength does not depend on the average stress, to calculate the stress filed, Mikhlin’s coordinate method is widely used. The purpose of this study is to generalise this method for the equation system consisting of the Mohr-Coulomb yield criterion and the pressure equilibrium equations. Methods. The geometrical properties of the characteristics of the equations’ system consisting of the Mohr-Coulomb yield condition and the equilibrium equations are used to introduce the generalised Mikhlin coordinates. Results. It’s been pointed out that solving equation system consisting of the MohrCoulomb yield condition and equilibrium equation comes to solving equation of telegraphy and to subsequent integration. Practical Significance. The developed method of system of equations’ solution, consisting of the Mohr-Coulomb yield condition and equilibrium equation enables obtaining high precision solutions at insignificant computer time expenditures.

Введение Для плоскодеформированного состояния идеально жесткопластического и идеально упругопластического тела уравнения для напряжений в пластической зоне состоят из условия текучести и двух уравнений равновесия. Эта система уравнений может быть исследована без привлечения Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и ОАО «РЖД» в рамках научного проекта № 17-20-03215. 89 SCIENTIFIC AND PRACTICAL DEVELOPMENT закона течения. Во многих случаях отмеченная система уравнений является гиперболической [1]. Определение поля напряжений сводится к определению поля характеристик. При условии текучести, которое не зависит от среднего напряжения, широко применяются два метода построения поля характеристик: R-S-метод, предложенный в [2], и метод координат Михлина [1, 3, 4]. Целесообразность применения того или иного метода зависит от заданных краевых условий. Для сыпучих сред условие текучести зависит от среднего напряжения [5, 6]. Как следует из современных обзорных работ [7, 8], до настоящего времени наиболее широко применяемым условием текучести такого типа является условие Кулона - Мора. В частности, это условие в основном используется в получившей широкое распространение модели [9] и в современной модели для гранулированных и сыпучих материалов, развитой в [10]. Для построения поля характеристик системы уравнений, состоящей из условия текучести Кулона - Мора и уравнений равновесия, R-S-метод обобщен в [11]. В публикуемой работе для построения поля характеристик этой системы уравнений обобщается метод координат Михлина. Показано, что когда оба семейства характеристик криволинейны, решение краевой задачи сводится к решению телеграфного уравнения. Методы решения этого уравнения при краевых условиях, типичных для моделей идеально жесткопластического и идеально упругопластического тела, хорошо изучены [1, 3, 4]. Отметим, что предлагаемый метод определения напряженного состояния может использоваться и для ряда металлических материалов, как следует из [12-15]. Обобщенные координаты Михлина Рассмотрим произвольную плоскую ортогональную систему координат (£,, ц) и декартову систему координат (x, y). Обе системы координат показаны на рис. 1. Рассмотрим произвольную точку P, определяемую радиусом-вектором R, начало которого совпадает с началом декартовой системы координат. Введем прямолинейную координату y, отсчитываемую от начала декартовой системы координат по направлению координаты ц в точке P, и прямолинейную координату x, отсчитываемую от начала декартовой системы координат по направлению координаты £, в точке P. Пусть ^ и е2 - единичные векторы по направлениям осей x и y, соответственно. Так как криволинейные координаты ортогональны, то очевидно, что ортогональны и координаты Михлина (рис. 1). Характеристики системы уравнений, состоящей из условия текучести, не зависящего от среднего напряжения, и уравнений равновесия, ортогональны. Поэтому можно принять, что (£,, ц) являются характеристическими координатами. В этом случае величины x и y по отдельности удовлетворяют телеграфному уравне- 90 НАУЧНЫЕ И ПРАКТИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ нию [1, 3, 4]. Характеристики системы уравнений, состоящей из условия текучести Кулона - Мора и уравнений равновесия, не являются ортогональными [5]. Обозначим соответствующие характеристические координаты (а, ß). Без ограничения общности можно принять, что направление максимального (в алгебраическом смысле) главного напряжения а1 проходит через первый и третий квадранты (рис. 2). у О Рис. 1. Ортогональные координаты Михлина Тогда координаты Михлина (x, y ) точки P определяются из уравнения R = хех + ÿe2. (1) Угол между направлением этого главного напряжения и каждым из характеристических направлений равен к/4 + ф/2 [5], где ф - угол внутреннего трения. Если угол внутреннего трения является постоянной величиной, то угол между координатными кривыми характеристической системы координат тоже всюду является постоянной величиной. Обобщим для таких систем координат определение координат Михлина. Аналогично случаю ортогональных систем координат введем прямолинейную координату у, отсчитываемую от начала декартовой системы координат по направлению 91 SCIENTIFIC AND PRACTICAL DEVELOPMENT координаты ß в точке P, и прямолинейную координату x, отсчитываемую от начала декартовой системы координат по направлению координаты а в точке P. Очевидно, что теперь система координат (x, y ) не является ортогональной. Тем не менее, уравнение (1) имеет силу, если векторы ej и е2 направлены вдоль новых осей x и y, соответственно. Это уравнение можно переписать в виде xi + yj = щ + уе2, (2) где i и j - орты декартовой системы координат. Пусть ф - угол между осью x и касательной к линии а в точке P. Тогда по определению ф - угол между осями x и x в точке O. Из геометрических соображений (рис. 2) получим i • е = cos ф, i • е2 = - sin^ + ф), j • е = sin ф, j • е2 = cos^ + ф). (3) у ß f Рис. 2. Обобщенные координаты Михлина Умножение уравнения (2) скалярно на вектор i дает x = xi • ех + yi • е2, а на вектор j у = xj • ех + yj • е2. Исключая в этих уравнениях скалярные произведения единичных векторов с помощью (3), находим 92 НАУЧНЫЕ И ПРАКТИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ x = x cos ф - y біп(ф + Ф); y = x sin ф + y cos^ + ф). (4) Решая эти уравнения относительно x и -, получим _ _ x cos^ + ф) + y sin(ф + ф) _ _ y cos ф - x sin ф x - ; y - . cos ф cos ф Дифференцируя первое уравнение по ß, а второе по a, найдем -cos ф = - cos^ + ф) + - sin(ф + ф) + aß dß aß + [ y cos(ф + ф) - x sin(ф + ф)]дф ; (5) dß dy , dy dx. . дф -cos ф = - cos ф--sin ф - (y sin ф + x cos ф)-. da da da da Уравнения характеристик имеют вид [5] dy dy (. , - = tg9, - = tg ф + ф + - =- ctg(ф + ф). (6) dx dx v 2 ) Здесь первое уравнение определяет линии семейства a, а второе - линии семейства ß. Уравнения (6) могут быть переписаны в виде dy dx dy . ч dx т- = tg9T-; тг =-с^(ф + ф)-. (7) da da dß dß Подставляя (7) в (5), получим dx cos ф = [y cos^ + ф) - x sm^ + ф)] ; -у а / ■ ч -ф - cos ф = -(y sin ф + x cos ф)-. da da Исключая в этих уравнениях x и y с помощью (4), найдем dx , _. ,ч-ф -у і /- ■ і -ч-ф cos ф = (y - x sin ф)-; -^cos ф = (y sin ф - x )-^ (8) dß dß da da 93 SCIENTIFIC AND PRACTICAL DEVELOPMENT Единственное свойство системы координат (а, ß), которое использовалось при выводе (8), состоит в том, что скалярное произведение ej • e2 -постоянная величина. Напряженное состояние в сыпучей среде Уравнения (8) упрощаются при учете свойств характеристических кривых системы уравнений, состоящей из условия текучести Кулона -Мора и уравнений равновесия. В частности, в [11] показано, что ф-ф0= (a + ß)cos ф, (9) где ф0 - постоянная, введенная для удобства. Подставляя (9) в (8), найдем ЭХ - -. , ду _. _ - = у - x sin ф; - = у sin ф- x. (10) dß да Отметим, что при ф = 0 эти уравнения совпадают с уравнениями, получаемыми в теории пластичности материалов, условие текучести которых не зависит от среднего напряжения [1, 3, 4]. Введем новые зависимые переменные X и Y по формулам x = X exp(na + mß); у = Y exp(na + mß). (11) Здесь n и m - некоторые постоянные. Подставляя (11) в (10), получим дХ - - - dY - - - --h mX = Y - X sin ф;--h nY = Y sin ф- X. (12) dß да Принимая m = - sin ф и n = sin ф, приведем уравнения (12) к виду dX - dY - -= Y ; -= -X. (13) dß da ( ) Кроме того, уравнения (1 1 ) примут форму x = Xexp[(a-ß)sinф]; у = Y exp[(a-ß)sinф]. (14) 94 НАУЧНЫЕ И ПРАКТИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ Уравнения (13) приводятся к телеграфным уравнениям вида ^ + x = 0; + F = 0. dadß dadß (15) Эти уравнения решаются методом Римана. В частности, вдоль любого замкнутого контура имеет место уравнение f rdG Л - - f- da da у r d a + f dG V _ dß G dß dß 0. Здесь f = X или f = F, G(a, b, a, ß) - функция Грина. Причем G(a, b, a, ß) = J 2y/(a - a)(b -ß) где J0 2^(a -a)(b -ß) - функция Бесселя нулевого порядка. Имея решение уравнений (15), можно найти зависимость x и y от a и ß. Действительно, уравнения (14) дают зависимость x и y от a и ß, тогда уравнения (4) и (9) - зависимость x и y от a и ß. Зависимость квадратичного инварианта тензора напряжения от a и ß имеет вид [11] q = С' С = q0 ехР[2(ß-a)sinф]. (16) где с2 - наименьшее (в алгебраическом смысле) главное напряжение; q0 - произвольная постоянная. Условие текучести Кулона - Мора имеет вид q - p sin ф = к cos ф, (17) где p = -(а + с2)/2 и к - коэффициент сцепления, являющийся постоянной величиной. Уравнения (16) и (17) определяют а и с2 как функции a и ß. Учитывая (11), зависимости компонент тензора напряжения в декартовых координатах от a и ß находят с помощью стандартных уравнений преобразования компонент тензора в плоскости. Таким образом, с учетом имеющейся зависимости x и y от a и ß зависимости компонент тензора напряжения в декартовых координатах от x и y получены в параметрическом виде. 95 SCIENTIFIC AND PRACTICAL DEVELOPMENT Заключение Показано, что методы, развитые ранее для построения поля напряжений при плоской деформации материала, подчиняющегося условию текучести, не зависящему от среднего напряжения, с помощью координат Михлина, полностью применимы для материалов, подчиняющихся условию текучести Кулона - Мора. Для этого достаточно ввести обобщенные координаты Михлина x и у (рис. 2), а также вспомогательные функции X и Y по формулам (14). Эти вспомогательные функции удовлетворяют телеграфному уравнению (15). Такому же уравнению удовлетворяют координаты Михлина в теории пластичности, основанной на условии текучести, не зависящим от среднего напряжения. Методы решения соответствующих краевых задач хорошо развиты [1, 3, 4]. Все эти методы практически без изменений могут быть использованы для определения напряжений в сыпучей среде.

Sergei E Alexandrov

sergei_alexandrov@spartak.ru
Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Science (RAS)

Dr. Sci. (Phys. and math.), Associate Prof.

Elena A Lyamina

lyamina@inbox.ru
Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Science (RAS)

Cand. sci. (Phys. and math) Associate Prof.

  • Хилл Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. - М.: Гос-техиздат, 1956. - 407 с.
  • Hill R. A Method of Numerical Analysis of Plastic Flow in Plane Strain and Its Application to the Compression of a Ductile Material Between Rough Plates / R. Hill, E.H. Lee, S.J Tupper // ASME J. Appl. Mech. - 1951. Vol. 18, № 1. - Р. 46-52.
  • Качанов Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. - М.: Гостехиздат, 1956. - 324 с.
  • Друянов Б.А. Теория технологической пластичности / Б.А. Друянов, Р.И. Непершин. - М.: Машиностроение, 1990. - 272 c.
  • Соколовский В.В. Статика сыпучей среды / В.В. Соколовский. - М.: Физматлит, 1960. - 243 с.
  • Николаевский В.Н. Механические свойства грунтов и теория пластичности / В.Н. Николаевский // Итоги науки и техники. Сер. Механика твердых деформируемых тел. - 1972. - № 6. - 85 с.
  • Cox G.M. Coulomb-Mohr Granular Materials: Quasi-Static Flows and the Highly Frictional Limit / G.M. Cox, N. Thamwattana, S.W. McCue, J.M. Hill // Appl. Mech. Rev. - 2008. - Vol. 61. - Paper 060802.
  • Goddard J.D. Continuum modeling of granular media / J.D. Goddard // Appl. Mech. Rev. - 2014. - Vol. 66. - Paper 050801.
  • Spencer A.J.M. A Theory of the Kinematics of Ideal Soils Under Plane Strain Conditions / A.J.M. Spencer // J. Mech. Phys. Solids. - 1964. - Vol. 12. -P. 337-351.
  • Harris D. A hyperbolic Augmented Elasto-Plastic Model for Pressure-Dependent Yield / D. Harris // Acta Mech. - 2014. - Vol. 225. - P. 2277-2299.
  • Alexandrov S. Geometry of plane strain characteristic fields in pressure-dependent plasticity / S. Alexandrov // ZAMM. - 2015. - Vol. 95. -P. 1296-1301.
  • Spitzig W.A. The Effect of Hydrostatic Pressure on the Deformation Behavior of Maraging and HY-80 Steels and Its Implications for Plasticity Theory / W.A. Spitzig, R.J. Sober, O. Richmond // Metallurg. Trans. - 1976. - 7A. -Р. 1703-1710.
  • Kao A.S. Influence of Superimposed Hydrostatic Pressure on Bending Fracture and Formability of a Low Carbon Steel Containing Globular Sulfides / A.S. Kao, H.A. Kuhn, W.A. Spitzig, O. Richmond // ASME J. Engng Mater. Technol. - 1990. - Vol. 112. - Р. 26-30.
  • Wilson C.D. A Critical Reexamination of Classical Metal Plasticity / C.D. Wilson // ASME J. Appl. Mech. - 2002. - Vol. 69. - № 1. - Р. 63-68.
  • Liu P.S. Mechanical Behaviors of Porous Metals Under Biaxial Tensile Loads / P.S. Liu // Mater. Sci. Engng. - 2006. - Vol. A422. - Р. 176-183.

Views

Abstract - 45

PDF (Russian) - 40

PDF (English) - 2

PlumX


Copyright (c) 2017 Alexandrov S.E., Lyamina E.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.