Wave boundary layers in a stably-neutrally stratified ocean

Cover Page

Abstract


The theory of wave boundary layers developed in [7], is generalized to the case of stably-neutrally stratified ocean consisting of upper homogeneous and lower stratified layers. In this configuration, in addition to the boundary layers near the ocean bottom and/or surface, a wave boundary layer develops near the interface between the layers in the lower stratified part of basin. Each the boundary layer is a narrow domain characterized by sharp, growing in time, vertical gradients of buoyancy and horizontal velocity. As in [7], the near interface boundary layer arises as a result of free linear evolution of rather general initial fields. An asymptotic solution describing the long-term evolution is presented and compared to exact solution; the asymptotic solution approximates the exact one fairly well even on not very large times.


ВВЕДЕНИЕ

До работ [7, 11] волновые пограничные слои в геофизических задачах рассматривались при описании эволюции волн Россби в бассейнах, ограниченных боковыми границами [1–3, 8–10]. В этих задачах пограничный слой возникает около западной границы и представляет собой узкую область, ширина которой стремится с ростом времени к нулю, а поперечные градиенты некоторых характеристик — к бесконечности. В работе [7] мы показали, что похожие пограничные слои существуют в невращающемся слое стратифицированной жидкости, связаны они с внутренними волнами и сосредоточены у дна и/или поверхности слоя. Здесь мы продолжаем исследование волновых пограничных слоев применительно к т. н. устойчиво-стратифицированному океану, состоящему из верхней однородной и нижней стратифицированной жидкостей; плотность и ос-тальные поля остаются непрерывными на поверхности раздела между жидкостями. Оказывается, в этом случае (кроме уже рассмотренных погранслоев у дна и поверхности) волновой пограничный слой возникает в окрестности поверхности раздела в нижней стратифицированной части бассейна. В разделе 2 дается постановка задачи, в разделе 3 получается ее точное решение в виде разложений по вертикальным волновым модам. В разделе 4 находится асимптотическое решение задачи на больших временах (в «духе» [2, 3, 7]), а в разделе 5 это решение сравнивается с точным решением, полученным в разделе 3. Раздел 6 содержит обсуждение результатов.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Мы рассматриваем двухслойный океан постоянной глубины H, ограниченный твердыми дном и поверхностью (рис. 1). Плотность воды , будучи непрерывной, постоянна, , в верхнем слое толщиной  и равна  в нижнем слое толщиной , где  — постоянная средняя толщина однородного слоя и  — отклонение границы раздела между слоями. Сумма  определяет равновесный профиль плотности в нижнем слое, отклонение  предполагается малым, . В линейном приближении уравнения, определяющие эволюцию такой системы, записываются в виде:

, ; , (1а, б)

 (2а, б, в)

Здесь  — вектор скорости; u, v, w — компоненты скорости вдоль осей x, y, z, направленных вдоль параллели, меридиана и вертикально вверх соответственно;  и  p — отклоне-ния плотности и давления от их гидростатических распределений;  — плавучесть,  — частота плавучести;  — орты соответствующих координатных осей; g — ускорение свободного падения.

 

Рис. 1. Схематическое изображение устойчиво-нейтрально стратифицированного океана.

 

Решения системы (1), (2) должны удовлетворять условиям непротекания на дне и поверхности:

, (3а)

и непрерывности на границе раздела:

, (3б)

где . Кроме того, должны выполняться начальные условия

 (3в, г)

Здесь и ниже нижний индекс «I» обозначает начальные поля, верхним индексом «+» («–») будет обозначаться верхний (нижний) слой.

Сведем задачу (1)–(3) к задаче для вертикальной скорости. Применяя операцию дивергенции к (1а) и используя (1б), находим:

, (4)

откуда

. (5а, б, в)

Здесь . Представим все величины в форме Фурье-интегралов вида:

; (6)

здесь и ниже «тильда» обозначает соответствующую Фурье-амплитуду.

Из (5в), (3а) получаем для :

 (7)

где А — некоторая постоянная амплитуда. Из (7) находим следующее соотношение на поверхности раздела:

 (8а, б)

Уравнение для вертикальной скорости в нижнем стратифицированном слое получаем из (2) (см., например, [5]):

 (9)

где . Далее в силу (3а, б) имеем:

  (10а, б)

В терминах Фурье-амплитуд уравнение (9) и граничные условия для  записываются с учетом (8), (10б) как:

 (11)

 (12а, б)

Должны также удовлетворяться начальные условия:

 (13)

Начальное поле  известно из (3г), а поле  вычисляется по известной начальной плавучес-ти  (см., например, [7]). В дальнейшем для простоты будем считать, что

 (14)

это получается при

Из (11) легко следует, что среднее по времени поле

 (15)

(ср. с [7]) тождественно равно нулю, , что, очевидно, противоречит граничному условию (12б) при

. (16)

Специальный случай  мы рассматривать не будем и в дальнейшем полагаем условие (16) выполненным. Аналогично [7], указанная несогласованность приводит к возникновению у границы раздела волнового пограничного слоя, в котором происходит переход от нестационарного поля  внутри области с нулевым средним по времени к не зависящему от времени граничному значению . Цель настоящей работы состоит в исследовании этого пограничного слоя.

РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ВЕРТИКАЛЬНЫМВОЛНОВЫМ МОДАМ

В дальнейшем мы для простоты положим  и перейдем к безразмерным переменным, используя масштабы времени , скорости , давления  плавучести , горизонтальный и вертикальный масштабы  и H, В безразмерной форме уравнения (1)–(3) остаются прежними, только  заменяются на 1.

Представим в виде:

 (17)

для  с учетом (14) получаем:

 (18)

 (19а, б, в)

Решение ищем в форме разложения по собственным колебаниям однородной системы (18), (19) вида:

. (20)

Для амплитуды и частоты  получаем следующую задачу Штурма-Лиувилля на собственные значения:

 (21а, б, в)

Решение этой задачи без труда находится:

 (22)

Параметр  определяется из условия (21б):

 (23)

Зная , можно найти частоту:

. (24)

Функции  образуют полную ортогональную систему [6]; решение ищется в виде рядов:

 (25а, б)

Здесь, (26а)

 (26б)

Подставляя (25) в (18), получаем с учетом (24) и начальных условий (19в):

 (27)

т.е. решение задачи (18), (19) для записывается в виде:

. (28)

В силу (2б), записанного в безразмерной форме, имеем для плавучести :

 (29)

Из (28), (29) находим решение для плавучести в виде следующего ряда:

 (30)

Далее, используя (8) и непрерывность  на поверхности раздела , выразим вертикальную скорость и ее производную в верхнем слое через значение функции  на границе раздела:

. (31а, б)

Здесь  дается разложением:

. (32)

Разложения (28), (30) и (31), (32) определяют решения для плавучести и вертикальной скорости. Поведение всех полей на больших временах сильно зависит от поведения коэффициентов разложения  при . Используя (23), нетрудно показать, что при условии (16) . Можно поэтому ожидать, что «вес» высоких мод в указанных разложениях увеличивается с ростом времени, что приводит к усилению вертикальной изменчивости всех полей и возникновению нестационарных пограничных слоев у поверхности раздела и/или дна.

На рис. 2 на плоскости  изображены изолинии Фурье-компонент  при фиксированных  в нижнем стратифицированном слое для начальных условий:

 (33)

Соответствующий коэффициент  дается выражением:

. (34)

В этом случае  и плавучесть обращается в нуль на дне , поэтому погранслой развивается только у поверхности раздела . Погранслой отсутствует в поле вертикальной скорости , осциллирующем почти периодически при любом . В поле плавучести  погранслой представляет собой узкую область в окрестности , характеризующуюся резкими вертикальными градиентами ; при этом с ростом времени толщина области уменьшается, а градиенты растут. Очень похожий пограничный слой развивается в поле производной , пропорциональной Фурье-амплитуде горизонтальной скорости. Под погранслоями поля  колеблются во времени. В следующем разделе дается асимптотическое описание полей в пограничных слоях.

 

Рис. 2. Изолинии Фурье-амплитуд полей скорости и плавучести при фиксированных k, l. Интервалы между контурами полей , , равны 0,2, 1, 1 соответственно; κ = 1. Пунктирные изолинии соответствуют отрицательным значениям.

 

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА

Для изучения пограничного слоя мы (следуя [2, 3, 7]) вводим вместо w осредненную по времени вертикальную скорость :

 . (35а, б)

Важное свойство новой переменной  состоит в том, что на больших временах вклад быстро осциллирующей части поля w в  стремится к нулю, и в  остается только медленно осциллирующий погранслой.

В терминах  приведенная к безразмерному виду задача (5в), (9), (10) записается как:

, , (36а, б)

, (37а, б)

. (37в, г)

В пограничном слое в окрестности  при  функция должна стремиться к нулю при , поскольку среднее по времени поле (15) тождественно равно нулю, но производная , чтобы обеспечить непрерывность касательной скорости на поверхности раздела. Решение нулевого порядка в пограничном слое ищем в виде (ср. [7]):

 (38)

где  — растянутая координата погранслоя. Подставляя (38) в (36б) и пренебрегая малыми членами, получаем при :

. (39)

Представляя  в виде интеграла Фурье (6), находим с учетом (14) уравнение для Фурье-амплитуды :

 (40)

Граничное условие для  на границе раздела при  следует из условия (12б) и (38):

. (41)

Гладкое решение уравнения (40), удовлетворяющее условию (41) и затухающее при , дается формулой [4], откуда находим:

 (42а, б)

Здесь и ниже  — функция Бесселя -го порядка. Для производной , определяющей горизонтальные скорости в погранслое, получаем:

. (43)

Для определения осредненной по времени плавучести

 (44)

используем уравнение (2б), предполагая для простоты . После несложных преобразований находим из (2б), что , откуда

. (45)

Из (42) видно, что погранслойная вертикальная скорость мала, и именно поэтому погранслойная структура не видна в поле  на рис. 2. Вместе с тем в силу (43), (45) соответствующие горизонтальные скорости и плавучесть порядка единицы быстро осциллируют по z, при этом их вертикальные градиенты растут пропорционально t. Толщина пограничного слоя уменьшается с ростом t пропорционально 1/ t. Отметим также, что асимптотические выражения для  и  различаются только коэффициентом  и совпадают при . Это объясняет сильное подобие пограничных слоев в полях плавучести и горизонтальной скорости () на рис. 2.

СРАВНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ И ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ

Для подтверждения справедливости асимптотик (42), (43), (45) и оценки скорости выхода решения на асимптотический режим были проведены численные эксперименты с начальными условиями (33).

Осредненные поля  в силу (28), (30) даются разложениями:

 (46а)

 (46б)

 (46в)

Соответственно, средние поля в однородном слое записываются в виде (см. выше (31), (32)):

 (47а, б)

где  дается разложением:

. (48)

Цель численных экспериментов — сравнить точные осредненные поля (46) с их асимптотическими представлениями (42), (43), (45) и поведением мгновенных полей (28), (30) и . Результаты расчетов для  в различные моменты времени представлены на рис. 3. Пунктиром изображены профили мгновенных полей , сплошными линиями — асимптотические (АS) и точные (AV) профили осредненных полей . Асимптотические профили представлены в нижнем стратифицированном слое. Рисунки демонстрируют, что асимптотики (43), (45) неплохо согласуются с точными полями при , мало отличаются от них при  и практически неотличимы от точных осредненных полей при и далее. Видно, что осредненные поля действительно имеют погранслойную структуру, все сильнее поджимаясь к границе раздела между слоями с течением времени и стремясь к нулю внутри области в соответствии с рассмотренным выше асимптотическим решением. Этот процесс сопровождается сильным ростом вертикальных градиентов плавучести и горизонтальной скорости () вблизи границы раздела. Мгновенные профили со временем не затухают и становятся все более и более изрезанными, причем максимальные вертикальные градиенты (еще более резкие, чем в осредненных полях) развиваются в окрестности границы раздела. Для сравнения на рис. 3в приведены мгновенные, осредненные и асимптотические профили вертикальной скорости (28), (31), (42а), в которых элементы погранслойной структуры выражены очень слабо.

 

Рис. 3. Вертикальные профили Фурье-амплитуд физических полей в различные моменты времени. Мгновенные профили изображены пунктиром, сплошными линиями — асимптотические (AS) и точные (AV) профили осредненных полей; N = const, κ = 1. (a) — плавучесть ; (б) — производная вертикальной скорости ; (в) — вертикальная скорость .

 

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

В [7] мы получили, что при линейном свободном развитии достаточно общих начальных полей в стратифицированном невращающемся слое жидкости на больших временах у поверхности и/или дна возникают узкие нестационарные (т. н. волновые) пограничные слои. При толщина такого погранслоя стремится к нулю, а вертикальные градиенты плавучести и горизонтальной скорости — к бесконечности. В настоящей работе мы обобщили эту теорию на случай устойчиво-стратифицированного океана, состоящего из верхнего однородного и нижнего стратифицированного слоев. Оказывается, что в такой конфигурации вдобавок к погранслоям у дна и поверхности возникает волновой пограничный слой в окрестности поверхности раздела в нижней стратифицированной части бассейна. Важный эффект волновых погранслоев заключается в том, что большие вертикальные градиенты горизонтальных скоростей приводят к сильному перемешиванию и неустойчивости у поверхности, дна и границы раздела.

Развитие погранслоя у поверхности раздела мы продемонстрировали на примере решения для простых начальных полей, не содержащих каких-либо резких градиентов. Кроме того, мы нашли асимптотическое представление решений в погранслоях. Для описания погранслойных структур мы применили специальные переменные, впервые введенные в [2, 3] для описания вынужденных волн Россби — поля, осредненные по промежутку времени  для каждого момента . Сопоставляя асимптотические решения на больших временах с точными разложениями по волновым модам, мы показали, что каждый такой пограничный слой состоит из бесконечного числа мод внутренних волн с большими вертикальными номерами . Именно поэтому мы назвали эти пограничные слои волновыми пограничными слоями.

Волновые пограничные слои в этой и других работах [2, 3, 7, 9, 11] возникают благодаря существованию предельной точки в частотном спектре, когда частота волны стремится к конечному пределу при стремлении волнового числа к бесконечности. В нашем случае предельная частота равна нулю, а под волновым числом подразумевается вертикальное волновое число (горизонтальное волновое число фиксировано). Ключевой факт состоит в том, что фазовая и групповая скорости волн с большими волновыми числами здесь имеют разные знаки (похоже, это типичная ситуация в присутствии предельной точки). Можно сказать, что граница, колеблющаяся с предельной частотой, порождает очень короткие волны с фазовой скоростью, направленной от границы, и групповой скоростью, направленной к границе. Такие волновые пакеты не могут убежать далеко от границы и с течением времени формируют пограничный слой.

Источник финансирования. Работа выполнялась в рамках Госзадания (№ 0149-2018-0001). Анализ точного решения (разделы 1–3) выполнен при поддержке РНФ (проект № 14-50-00095), асимптотический анализ (разделы 4, 5) — при поддержке Минобрнауки РФ (проект № 14.W03.31.0006), численные эксперименты (в разделах 3, 5) — при поддержке РФФИ (проект № 17-05-00094-а).

G. M. Reznik

Shirshov Institute of Oceanology, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: greznikmd@yahoo.com

Russian Federation, Moscow

  1. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т. 2. М.: Мир, 1986. 415 с.
  2. Ильин А.М. Об асимптотике решения одной краевой задачи // Матем. заметки. 1970. Т. 8. № 3. С. 273–284.
  3. Ильин А.М. О поведении решения одной краевой задачи при t→∞ // Матем. сборник. 1972. Т. 87(129). № 4. С. 529–553.
  4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.
  5. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 302 с.
  6. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1. М.: Изд-во иностр. литературы, 1958. 931 с.
  7. Резник Г.М. Волновые пограничные слои в стратифицированной жидкости у поверхности и дна // Океанология. 2017. Т. 57. № 3. С. 381–388.
  8. Anderson D.L.T., Gill A.E. Spin-up of a stratified ocean, with application to upwelling // Deep-Sea Res. 1975. V. 22. P. 583–596.
  9. Kamenkovich V.M., Kamenkovich I.V. On the evolution of Rossby waves, generated by wind stress in a closed basin, incorporating total mass conservation // Dyn. Atm. Oceans. 1993. V. 18. P. 67–103.
  10. Lighthill M.J. Dynamic response of the Indian ocean to onset of the southwest monsoon // Philos. Trans. R. Soc. London. Ser. A. 1969. V. 265. P. 45–92.
  11. Reznik G.M. Linear dynamics of a stably-neutrally stratified ocean // J. Mar. Res. 2013. V. 71. № 4. P. 253–288.

Supplementary files

Supplementary Files Action
1. Fig. 1. Schematic representation of a stably neutral stratified ocean. View (479KB) Indexing metadata
2. Fig. 2. The Fourier isolines of the amplitudes of the fields of speed and buoyancy at fixed k, l. The intervals between the contours of the fields,, are equal to 0.2, 1, 1, respectively; κ = 1. Dashed isolines correspond to negative values. View (1MB) Indexing metadata
3. Fig. 3. Vertical profiles of the Fourier amplitudes of physical fields at different points in time. Instant profiles are shown as dotted lines, solid lines show asymptotic (AS) and exact (AV) profiles of averaged fields; N = const, κ = 1. (a) - buoyancy; (b) is the derivative of the vertical velocity; (c) - vertical speed. View (1MB) Indexing metadata

Views

Abstract - 36

PDF (Russian) - 39

Cited-By


PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Russian academy of sciences