Wave boundary layers in a stably-neutrally stratified ocean
- Authors: Reznik G.M.1
-
Affiliations:
- Shirshov Institute of Oceanology, Russian Academy of Sciences
- Issue: Vol 59, No 2 (2019)
- Pages: 201-207
- Section: Marine Phisics
- URL: https://journals.eco-vector.com/0030-1574/article/view/13304
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0030-1574592201-207
- ID: 13304
Cite item
Full Text
Abstract
The theory of wave boundary layers developed in [7], is generalized to the case of stably-neutrally stratified ocean consisting of upper homogeneous and lower stratified layers. In this configuration, in addition to the boundary layers near the ocean bottom and/or surface, a wave boundary layer develops near the interface between the layers in the lower stratified part of basin. Each the boundary layer is a narrow domain characterized by sharp, growing in time, vertical gradients of buoyancy and horizontal velocity. As in [7], the near interface boundary layer arises as a result of free linear evolution of rather general initial fields. An asymptotic solution describing the long-term evolution is presented and compared to exact solution; the asymptotic solution approximates the exact one fairly well even on not very large times.
Full Text
ВВЕДЕНИЕ
До работ [7, 11] волновые пограничные слои в геофизических задачах рассматривались при описании эволюции волн Россби в бассейнах, ограниченных боковыми границами [1–3, 8–10]. В этих задачах пограничный слой возникает около западной границы и представляет собой узкую область, ширина которой стремится с ростом времени к нулю, а поперечные градиенты некоторых характеристик — к бесконечности. В работе [7] мы показали, что похожие пограничные слои существуют в невращающемся слое стратифицированной жидкости, связаны они с внутренними волнами и сосредоточены у дна и/или поверхности слоя. Здесь мы продолжаем исследование волновых пограничных слоев применительно к т. н. устойчиво-стратифицированному океану, состоящему из верхней однородной и нижней стратифицированной жидкостей; плотность и ос-тальные поля остаются непрерывными на поверхности раздела между жидкостями. Оказывается, в этом случае (кроме уже рассмотренных погранслоев у дна и поверхности) волновой пограничный слой возникает в окрестности поверхности раздела в нижней стратифицированной части бассейна. В разделе 2 дается постановка задачи, в разделе 3 получается ее точное решение в виде разложений по вертикальным волновым модам. В разделе 4 находится асимптотическое решение задачи на больших временах (в «духе» [2, 3, 7]), а в разделе 5 это решение сравнивается с точным решением, полученным в разделе 3. Раздел 6 содержит обсуждение результатов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Мы рассматриваем двухслойный океан постоянной глубины H, ограниченный твердыми дном и поверхностью (рис. 1). Плотность воды , будучи непрерывной, постоянна, , в верхнем слое толщиной и равна в нижнем слое толщиной , где — постоянная средняя толщина однородного слоя и — отклонение границы раздела между слоями. Сумма определяет равновесный профиль плотности в нижнем слое, отклонение предполагается малым, . В линейном приближении уравнения, определяющие эволюцию такой системы, записываются в виде:
, ; , (1а, б)
(2а, б, в)
Здесь — вектор скорости; u, v, w — компоненты скорости вдоль осей x, y, z, направленных вдоль параллели, меридиана и вертикально вверх соответственно; и p — отклоне-ния плотности и давления от их гидростатических распределений; — плавучесть, — частота плавучести; — орты соответствующих координатных осей; g — ускорение свободного падения.
Рис. 1. Схематическое изображение устойчиво-нейтрально стратифицированного океана.
Решения системы (1), (2) должны удовлетворять условиям непротекания на дне и поверхности:
, (3а)
и непрерывности на границе раздела:
, (3б)
где . Кроме того, должны выполняться начальные условия
(3в, г)
Здесь и ниже нижний индекс «I» обозначает начальные поля, верхним индексом «+» («–») будет обозначаться верхний (нижний) слой.
Сведем задачу (1)–(3) к задаче для вертикальной скорости. Применяя операцию дивергенции к (1а) и используя (1б), находим:
, (4)
откуда
. (5а, б, в)
Здесь . Представим все величины в форме Фурье-интегралов вида:
; (6)
здесь и ниже «тильда» обозначает соответствующую Фурье-амплитуду.
Из (5в), (3а) получаем для :
(7)
где А — некоторая постоянная амплитуда. Из (7) находим следующее соотношение на поверхности раздела:
(8а, б)
Уравнение для вертикальной скорости в нижнем стратифицированном слое получаем из (2) (см., например, [5]):
(9)
где . Далее в силу (3а, б) имеем:
(10а, б)
В терминах Фурье-амплитуд уравнение (9) и граничные условия для записываются с учетом (8), (10б) как:
(11)
(12а, б)
Должны также удовлетворяться начальные условия:
(13)
Начальное поле известно из (3г), а поле вычисляется по известной начальной плавучес-ти (см., например, [7]). В дальнейшем для простоты будем считать, что
(14)
это получается при
Из (11) легко следует, что среднее по времени поле
(15)
(ср. с [7]) тождественно равно нулю, , что, очевидно, противоречит граничному условию (12б) при
. (16)
Специальный случай мы рассматривать не будем и в дальнейшем полагаем условие (16) выполненным. Аналогично [7], указанная несогласованность приводит к возникновению у границы раздела волнового пограничного слоя, в котором происходит переход от нестационарного поля внутри области с нулевым средним по времени к не зависящему от времени граничному значению . Цель настоящей работы состоит в исследовании этого пограничного слоя.
РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ВЕРТИКАЛЬНЫМВОЛНОВЫМ МОДАМ
В дальнейшем мы для простоты положим и перейдем к безразмерным переменным, используя масштабы времени , скорости , давления плавучести , горизонтальный и вертикальный масштабы и H, В безразмерной форме уравнения (1)–(3) остаются прежними, только заменяются на 1.
Представим в виде:
(17)
для с учетом (14) получаем:
(18)
(19а, б, в)
Решение ищем в форме разложения по собственным колебаниям однородной системы (18), (19) вида:
. (20)
Для амплитуды и частоты получаем следующую задачу Штурма-Лиувилля на собственные значения:
(21а, б, в)
Решение этой задачи без труда находится:
(22)
Параметр определяется из условия (21б):
(23)
Зная , можно найти частоту:
. (24)
Функции образуют полную ортогональную систему [6]; решение ищется в виде рядов:
(25а, б)
Здесь, (26а)
(26б)
Подставляя (25) в (18), получаем с учетом (24) и начальных условий (19в):
(27)
т.е. решение задачи (18), (19) для записывается в виде:
. (28)
В силу (2б), записанного в безразмерной форме, имеем для плавучести :
(29)
Из (28), (29) находим решение для плавучести в виде следующего ряда:
(30)
Далее, используя (8) и непрерывность на поверхности раздела , выразим вертикальную скорость и ее производную в верхнем слое через значение функции на границе раздела:
. (31а, б)
Здесь дается разложением:
. (32)
Разложения (28), (30) и (31), (32) определяют решения для плавучести и вертикальной скорости. Поведение всех полей на больших временах сильно зависит от поведения коэффициентов разложения при . Используя (23), нетрудно показать, что при условии (16) . Можно поэтому ожидать, что «вес» высоких мод в указанных разложениях увеличивается с ростом времени, что приводит к усилению вертикальной изменчивости всех полей и возникновению нестационарных пограничных слоев у поверхности раздела и/или дна.
На рис. 2 на плоскости изображены изолинии Фурье-компонент при фиксированных в нижнем стратифицированном слое для начальных условий:
(33)
Соответствующий коэффициент дается выражением:
. (34)
В этом случае и плавучесть обращается в нуль на дне , поэтому погранслой развивается только у поверхности раздела . Погранслой отсутствует в поле вертикальной скорости , осциллирующем почти периодически при любом . В поле плавучести погранслой представляет собой узкую область в окрестности , характеризующуюся резкими вертикальными градиентами ; при этом с ростом времени толщина области уменьшается, а градиенты растут. Очень похожий пограничный слой развивается в поле производной , пропорциональной Фурье-амплитуде горизонтальной скорости. Под погранслоями поля колеблются во времени. В следующем разделе дается асимптотическое описание полей в пограничных слоях.
Рис. 2. Изолинии Фурье-амплитуд полей скорости и плавучести при фиксированных k, l. Интервалы между контурами полей , , равны 0,2, 1, 1 соответственно; κ = 1. Пунктирные изолинии соответствуют отрицательным значениям.
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
Для изучения пограничного слоя мы (следуя [2, 3, 7]) вводим вместо w осредненную по времени вертикальную скорость :
. (35а, б)
Важное свойство новой переменной состоит в том, что на больших временах вклад быстро осциллирующей части поля w в стремится к нулю, и в остается только медленно осциллирующий погранслой.
В терминах приведенная к безразмерному виду задача (5в), (9), (10) записается как:
, , (36а, б)
, (37а, б)
. (37в, г)
В пограничном слое в окрестности при функция должна стремиться к нулю при , поскольку среднее по времени поле (15) тождественно равно нулю, но производная , чтобы обеспечить непрерывность касательной скорости на поверхности раздела. Решение нулевого порядка в пограничном слое ищем в виде (ср. [7]):
(38)
где — растянутая координата погранслоя. Подставляя (38) в (36б) и пренебрегая малыми членами, получаем при :
. (39)
Представляя в виде интеграла Фурье (6), находим с учетом (14) уравнение для Фурье-амплитуды :
(40)
Граничное условие для на границе раздела при следует из условия (12б) и (38):
. (41)
Гладкое решение уравнения (40), удовлетворяющее условию (41) и затухающее при , дается формулой [4], откуда находим:
(42а, б)
Здесь и ниже — функция Бесселя -го порядка. Для производной , определяющей горизонтальные скорости в погранслое, получаем:
. (43)
Для определения осредненной по времени плавучести
(44)
используем уравнение (2б), предполагая для простоты . После несложных преобразований находим из (2б), что , откуда
. (45)
Из (42) видно, что погранслойная вертикальная скорость мала, и именно поэтому погранслойная структура не видна в поле на рис. 2. Вместе с тем в силу (43), (45) соответствующие горизонтальные скорости и плавучесть порядка единицы быстро осциллируют по z, при этом их вертикальные градиенты растут пропорционально t. Толщина пограничного слоя уменьшается с ростом t пропорционально 1/ t. Отметим также, что асимптотические выражения для и различаются только коэффициентом и совпадают при . Это объясняет сильное подобие пограничных слоев в полях плавучести и горизонтальной скорости () на рис. 2.
СРАВНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ И ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ
Для подтверждения справедливости асимптотик (42), (43), (45) и оценки скорости выхода решения на асимптотический режим были проведены численные эксперименты с начальными условиями (33).
Осредненные поля в силу (28), (30) даются разложениями:
(46а)
(46б)
(46в)
Соответственно, средние поля в однородном слое записываются в виде (см. выше (31), (32)):
(47а, б)
где дается разложением:
. (48)
Цель численных экспериментов — сравнить точные осредненные поля (46) с их асимптотическими представлениями (42), (43), (45) и поведением мгновенных полей (28), (30) и . Результаты расчетов для в различные моменты времени представлены на рис. 3. Пунктиром изображены профили мгновенных полей , сплошными линиями — асимптотические (АS) и точные (AV) профили осредненных полей . Асимптотические профили представлены в нижнем стратифицированном слое. Рисунки демонстрируют, что асимптотики (43), (45) неплохо согласуются с точными полями при , мало отличаются от них при и практически неотличимы от точных осредненных полей при и далее. Видно, что осредненные поля действительно имеют погранслойную структуру, все сильнее поджимаясь к границе раздела между слоями с течением времени и стремясь к нулю внутри области в соответствии с рассмотренным выше асимптотическим решением. Этот процесс сопровождается сильным ростом вертикальных градиентов плавучести и горизонтальной скорости () вблизи границы раздела. Мгновенные профили со временем не затухают и становятся все более и более изрезанными, причем максимальные вертикальные градиенты (еще более резкие, чем в осредненных полях) развиваются в окрестности границы раздела. Для сравнения на рис. 3в приведены мгновенные, осредненные и асимптотические профили вертикальной скорости (28), (31), (42а), в которых элементы погранслойной структуры выражены очень слабо.
Рис. 3. Вертикальные профили Фурье-амплитуд физических полей в различные моменты времени. Мгновенные профили изображены пунктиром, сплошными линиями — асимптотические (AS) и точные (AV) профили осредненных полей; N = const, κ = 1. (a) — плавучесть ; (б) — производная вертикальной скорости ; (в) — вертикальная скорость .
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
В [7] мы получили, что при линейном свободном развитии достаточно общих начальных полей в стратифицированном невращающемся слое жидкости на больших временах у поверхности и/или дна возникают узкие нестационарные (т. н. волновые) пограничные слои. При толщина такого погранслоя стремится к нулю, а вертикальные градиенты плавучести и горизонтальной скорости — к бесконечности. В настоящей работе мы обобщили эту теорию на случай устойчиво-стратифицированного океана, состоящего из верхнего однородного и нижнего стратифицированного слоев. Оказывается, что в такой конфигурации вдобавок к погранслоям у дна и поверхности возникает волновой пограничный слой в окрестности поверхности раздела в нижней стратифицированной части бассейна. Важный эффект волновых погранслоев заключается в том, что большие вертикальные градиенты горизонтальных скоростей приводят к сильному перемешиванию и неустойчивости у поверхности, дна и границы раздела.
Развитие погранслоя у поверхности раздела мы продемонстрировали на примере решения для простых начальных полей, не содержащих каких-либо резких градиентов. Кроме того, мы нашли асимптотическое представление решений в погранслоях. Для описания погранслойных структур мы применили специальные переменные, впервые введенные в [2, 3] для описания вынужденных волн Россби — поля, осредненные по промежутку времени для каждого момента . Сопоставляя асимптотические решения на больших временах с точными разложениями по волновым модам, мы показали, что каждый такой пограничный слой состоит из бесконечного числа мод внутренних волн с большими вертикальными номерами . Именно поэтому мы назвали эти пограничные слои волновыми пограничными слоями.
Волновые пограничные слои в этой и других работах [2, 3, 7, 9, 11] возникают благодаря существованию предельной точки в частотном спектре, когда частота волны стремится к конечному пределу при стремлении волнового числа к бесконечности. В нашем случае предельная частота равна нулю, а под волновым числом подразумевается вертикальное волновое число (горизонтальное волновое число фиксировано). Ключевой факт состоит в том, что фазовая и групповая скорости волн с большими волновыми числами здесь имеют разные знаки (похоже, это типичная ситуация в присутствии предельной точки). Можно сказать, что граница, колеблющаяся с предельной частотой, порождает очень короткие волны с фазовой скоростью, направленной от границы, и групповой скоростью, направленной к границе. Такие волновые пакеты не могут убежать далеко от границы и с течением времени формируют пограничный слой.
Источник финансирования. Работа выполнялась в рамках Госзадания (№ 0149-2018-0001). Анализ точного решения (разделы 1–3) выполнен при поддержке РНФ (проект № 14-50-00095), асимптотический анализ (разделы 4, 5) — при поддержке Минобрнауки РФ (проект № 14.W03.31.0006), численные эксперименты (в разделах 3, 5) — при поддержке РФФИ (проект № 17-05-00094-а).
About the authors
G. M. Reznik
Shirshov Institute of Oceanology, Russian Academy of Sciences
Author for correspondence.
Email: greznikmd@yahoo.com
Russian Federation, Moscow
References
- Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т. 2. М.: Мир, 1986. 415 с.
- Ильин А.М. Об асимптотике решения одной краевой задачи // Матем. заметки. 1970. Т. 8. № 3. С. 273–284.
- Ильин А.М. О поведении решения одной краевой задачи при t→∞ // Матем. сборник. 1972. Т. 87(129). № 4. С. 529–553.
- Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.
- Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 302 с.
- Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1. М.: Изд-во иностр. литературы, 1958. 931 с.
- Резник Г.М. Волновые пограничные слои в стратифицированной жидкости у поверхности и дна // Океанология. 2017. Т. 57. № 3. С. 381–388.
- Anderson D.L.T., Gill A.E. Spin-up of a stratified ocean, with application to upwelling // Deep-Sea Res. 1975. V. 22. P. 583–596.
- Kamenkovich V.M., Kamenkovich I.V. On the evolution of Rossby waves, generated by wind stress in a closed basin, incorporating total mass conservation // Dyn. Atm. Oceans. 1993. V. 18. P. 67–103.
- Lighthill M.J. Dynamic response of the Indian ocean to onset of the southwest monsoon // Philos. Trans. R. Soc. London. Ser. A. 1969. V. 265. P. 45–92.
- Reznik G.M. Linear dynamics of a stably-neutrally stratified ocean // J. Mar. Res. 2013. V. 71. № 4. P. 253–288.