Wave boundary layers in a stably-neutrally stratified ocean

全文:

ВВЕДЕНИЕ

До работ [7, 11] волновые пограничные слои в геофизических задачах рассматривались при описании эволюции волн Россби в бассейнах, ограниченных боковыми границами [1–3, 8–10]. В этих задачах пограничный слой возникает около западной границы и представляет собой узкую область, ширина которой стремится с ростом времени к нулю, а поперечные градиенты некоторых характеристик — к бесконечности. В работе [7] мы показали, что похожие пограничные слои существуют в невращающемся слое стратифицированной жидкости, связаны они с внутренними волнами и сосредоточены у дна и/или поверхности слоя. Здесь мы продолжаем исследование волновых пограничных слоев применительно к т. н. устойчиво-стратифицированному океану, состоящему из верхней однородной и нижней стратифицированной жидкостей; плотность и ос-тальные поля остаются непрерывными на поверхности раздела между жидкостями. Оказывается, в этом случае (кроме уже рассмотренных погранслоев у дна и поверхности) волновой пограничный слой возникает в окрестности поверхности раздела в нижней стратифицированной части бассейна. В разделе 2 дается постановка задачи, в разделе 3 получается ее точное решение в виде разложений по вертикальным волновым модам. В разделе 4 находится асимптотическое решение задачи на больших временах (в «духе» [2, 3, 7]), а в разделе 5 это решение сравнивается с точным решением, полученным в разделе 3. Раздел 6 содержит обсуждение результатов.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Мы рассматриваем двухслойный океан постоянной глубины H, ограниченный твердыми дном и поверхностью (рис. 1). Плотность воды , будучи непрерывной, постоянна, , в верхнем слое толщиной  и равна  в нижнем слое толщиной , где  — постоянная средняя толщина однородного слоя и  — отклонение границы раздела между слоями. Сумма  определяет равновесный профиль плотности в нижнем слое, отклонение  предполагается малым, . В линейном приближении уравнения, определяющие эволюцию такой системы, записываются в виде:

, ; , (1а, б)

 (2а, б, в)

Здесь  — вектор скорости; u, v, w — компоненты скорости вдоль осей x, y, z, направленных вдоль параллели, меридиана и вертикально вверх соответственно;  и  p — отклоне-ния плотности и давления от их гидростатических распределений;  — плавучесть,  — частота плавучести;  — орты соответствующих координатных осей; g — ускорение свободного падения.

Рис. 1. Схематическое изображение устойчиво-нейтрально стратифицированного океана.

Решения системы (1), (2) должны удовлетворять условиям непротекания на дне и поверхности:

, (3а)

и непрерывности на границе раздела:

, (3б)

где . Кроме того, должны выполняться начальные условия

 (3в, г)

Здесь и ниже нижний индекс «I» обозначает начальные поля, верхним индексом «+» («–») будет обозначаться верхний (нижний) слой.

Сведем задачу (1)–(3) к задаче для вертикальной скорости. Применяя операцию дивергенции к (1а) и используя (1б), находим:

, (4)

откуда

. (5а, б, в)

Здесь . Представим все величины в форме Фурье-интегралов вида:

; (6)

здесь и ниже «тильда» обозначает соответствующую Фурье-амплитуду.

Из (5в), (3а) получаем для :

 (7)

где А — некоторая постоянная амплитуда. Из (7) находим следующее соотношение на поверхности раздела:

 (8а, б)

Уравнение для вертикальной скорости в нижнем стратифицированном слое получаем из (2) (см., например, [5]):

 (9)

где . Далее в силу (3а, б) имеем:

  (10а, б)

В терминах Фурье-амплитуд уравнение (9) и граничные условия для  записываются с учетом (8), (10б) как:

 (11)

 (12а, б)

Должны также удовлетворяться начальные условия:

 (13)

Начальное поле  известно из (3г), а поле  вычисляется по известной начальной плавучес-ти  (см., например, [7]). В дальнейшем для простоты будем считать, что

 (14)

это получается при

Из (11) легко следует, что среднее по времени поле

 (15)

(ср. с [7]) тождественно равно нулю, , что, очевидно, противоречит граничному условию (12б) при

. (16)

Специальный случай  мы рассматривать не будем и в дальнейшем полагаем условие (16) выполненным. Аналогично [7], указанная несогласованность приводит к возникновению у границы раздела волнового пограничного слоя, в котором происходит переход от нестационарного поля  внутри области с нулевым средним по времени к не зависящему от времени граничному значению . Цель настоящей работы состоит в исследовании этого пограничного слоя.

РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ВЕРТИКАЛЬНЫМВОЛНОВЫМ МОДАМ

В дальнейшем мы для простоты положим  и перейдем к безразмерным переменным, используя масштабы времени , скорости , давления  плавучести , горизонтальный и вертикальный масштабы  и H, В безразмерной форме уравнения (1)–(3) остаются прежними, только  заменяются на 1.

Представим в виде:

 (17)

для  с учетом (14) получаем:

 (18)

 (19а, б, в)

Решение ищем в форме разложения по собственным колебаниям однородной системы (18), (19) вида:

. (20)

Для амплитуды и частоты  получаем следующую задачу Штурма-Лиувилля на собственные значения:

 (21а, б, в)

Решение этой задачи без труда находится:

 (22)

Параметр  определяется из условия (21б):

 (23)

Зная , можно найти частоту:

. (24)

Функции  образуют полную ортогональную систему [6]; решение ищется в виде рядов:

 (25а, б)

Здесь, (26а)

 (26б)

Подставляя (25) в (18), получаем с учетом (24) и начальных условий (19в):

 (27)

т.е. решение задачи (18), (19) для записывается в виде:

. (28)

В силу (2б), записанного в безразмерной форме, имеем для плавучести :

 (29)

Из (28), (29) находим решение для плавучести в виде следующего ряда:

 (30)

Далее, используя (8) и непрерывность  на поверхности раздела , выразим вертикальную скорость и ее производную в верхнем слое через значение функции  на границе раздела:

. (31а, б)

Здесь  дается разложением:

. (32)

Разложения (28), (30) и (31), (32) определяют решения для плавучести и вертикальной скорости. Поведение всех полей на больших временах сильно зависит от поведения коэффициентов разложения  при . Используя (23), нетрудно показать, что при условии (16) . Можно поэтому ожидать, что «вес» высоких мод в указанных разложениях увеличивается с ростом времени, что приводит к усилению вертикальной изменчивости всех полей и возникновению нестационарных пограничных слоев у поверхности раздела и/или дна.

На рис. 2 на плоскости  изображены изолинии Фурье-компонент  при фиксированных  в нижнем стратифицированном слое для начальных условий:

 (33)

Соответствующий коэффициент  дается выражением:

. (34)

В этом случае  и плавучесть обращается в нуль на дне , поэтому погранслой развивается только у поверхности раздела . Погранслой отсутствует в поле вертикальной скорости , осциллирующем почти периодически при любом . В поле плавучести  погранслой представляет собой узкую область в окрестности , характеризующуюся резкими вертикальными градиентами ; при этом с ростом времени толщина области уменьшается, а градиенты растут. Очень похожий пограничный слой развивается в поле производной , пропорциональной Фурье-амплитуде горизонтальной скорости. Под погранслоями поля  колеблются во времени. В следующем разделе дается асимптотическое описание полей в пограничных слоях.

Рис. 2. Изолинии Фурье-амплитуд полей скорости и плавучести при фиксированных k, l. Интервалы между контурами полей , , равны 0,2, 1, 1 соответственно; κ = 1. Пунктирные изолинии соответствуют отрицательным значениям.

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА

Для изучения пограничного слоя мы (следуя [2, 3, 7]) вводим вместо w осредненную по времени вертикальную скорость :

 . (35а, б)

Важное свойство новой переменной  состоит в том, что на больших временах вклад быстро осциллирующей части поля w в  стремится к нулю, и в  остается только медленно осциллирующий погранслой.

В терминах  приведенная к безразмерному виду задача (5в), (9), (10) записается как:

, , (36а, б)

, (37а, б)

. (37в, г)

В пограничном слое в окрестности  при  функция должна стремиться к нулю при , поскольку среднее по времени поле (15) тождественно равно нулю, но производная , чтобы обеспечить непрерывность касательной скорости на поверхности раздела. Решение нулевого порядка в пограничном слое ищем в виде (ср. [7]):

 (38)

где  — растянутая координата погранслоя. Подставляя (38) в (36б) и пренебрегая малыми членами, получаем при :

. (39)

Представляя  в виде интеграла Фурье (6), находим с учетом (14) уравнение для Фурье-амплитуды :

 (40)

Граничное условие для  на границе раздела при  следует из условия (12б) и (38):

. (41)

Гладкое решение уравнения (40), удовлетворяющее условию (41) и затухающее при , дается формулой [4], откуда находим:

 (42а, б)

Здесь и ниже  — функция Бесселя -го порядка. Для производной , определяющей горизонтальные скорости в погранслое, получаем:

. (43)

Для определения осредненной по времени плавучести

 (44)

используем уравнение (2б), предполагая для простоты . После несложных преобразований находим из (2б), что , откуда

. (45)

Из (42) видно, что погранслойная вертикальная скорость мала, и именно поэтому погранслойная структура не видна в поле  на рис. 2. Вместе с тем в силу (43), (45) соответствующие горизонтальные скорости и плавучесть порядка единицы быстро осциллируют по z, при этом их вертикальные градиенты растут пропорционально t. Толщина пограничного слоя уменьшается с ростом t пропорционально 1/ t. Отметим также, что асимптотические выражения для  и  различаются только коэффициентом  и совпадают при . Это объясняет сильное подобие пограничных слоев в полях плавучести и горизонтальной скорости () на рис. 2.

СРАВНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ И ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ

Для подтверждения справедливости асимптотик (42), (43), (45) и оценки скорости выхода решения на асимптотический режим были проведены численные эксперименты с начальными условиями (33).

Осредненные поля  в силу (28), (30) даются разложениями:

 (46а)

 (46б)

 (46в)

Соответственно, средние поля в однородном слое записываются в виде (см. выше (31), (32)):

 (47а, б)

где  дается разложением:

. (48)

Цель численных экспериментов — сравнить точные осредненные поля (46) с их асимптотическими представлениями (42), (43), (45) и поведением мгновенных полей (28), (30) и . Результаты расчетов для  в различные моменты времени представлены на рис. 3. Пунктиром изображены профили мгновенных полей , сплошными линиями — асимптотические (АS) и точные (AV) профили осредненных полей . Асимптотические профили представлены в нижнем стратифицированном слое. Рисунки демонстрируют, что асимптотики (43), (45) неплохо согласуются с точными полями при , мало отличаются от них при  и практически неотличимы от точных осредненных полей при и далее. Видно, что осредненные поля действительно имеют погранслойную структуру, все сильнее поджимаясь к границе раздела между слоями с течением времени и стремясь к нулю внутри области в соответствии с рассмотренным выше асимптотическим решением. Этот процесс сопровождается сильным ростом вертикальных градиентов плавучести и горизонтальной скорости () вблизи границы раздела. Мгновенные профили со временем не затухают и становятся все более и более изрезанными, причем максимальные вертикальные градиенты (еще более резкие, чем в осредненных полях) развиваются в окрестности границы раздела. Для сравнения на рис. 3в приведены мгновенные, осредненные и асимптотические профили вертикальной скорости (28), (31), (42а), в которых элементы погранслойной структуры выражены очень слабо.

Рис. 3. Вертикальные профили Фурье-амплитуд физических полей в различные моменты времени. Мгновенные профили изображены пунктиром, сплошными линиями — асимптотические (AS) и точные (AV) профили осредненных полей; N = const, κ = 1. (a) — плавучесть ; (б) — производная вертикальной скорости ; (в) — вертикальная скорость .

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

В [7] мы получили, что при линейном свободном развитии достаточно общих начальных полей в стратифицированном невращающемся слое жидкости на больших временах у поверхности и/или дна возникают узкие нестационарные (т. н. волновые) пограничные слои. При толщина такого погранслоя стремится к нулю, а вертикальные градиенты плавучести и горизонтальной скорости — к бесконечности. В настоящей работе мы обобщили эту теорию на случай устойчиво-стратифицированного океана, состоящего из верхнего однородного и нижнего стратифицированного слоев. Оказывается, что в такой конфигурации вдобавок к погранслоям у дна и поверхности возникает волновой пограничный слой в окрестности поверхности раздела в нижней стратифицированной части бассейна. Важный эффект волновых погранслоев заключается в том, что большие вертикальные градиенты горизонтальных скоростей приводят к сильному перемешиванию и неустойчивости у поверхности, дна и границы раздела.

Развитие погранслоя у поверхности раздела мы продемонстрировали на примере решения для простых начальных полей, не содержащих каких-либо резких градиентов. Кроме того, мы нашли асимптотическое представление решений в погранслоях. Для описания погранслойных структур мы применили специальные переменные, впервые введенные в [2, 3] для описания вынужденных волн Россби — поля, осредненные по промежутку времени  для каждого момента . Сопоставляя асимптотические решения на больших временах с точными разложениями по волновым модам, мы показали, что каждый такой пограничный слой состоит из бесконечного числа мод внутренних волн с большими вертикальными номерами . Именно поэтому мы назвали эти пограничные слои волновыми пограничными слоями.

Волновые пограничные слои в этой и других работах [2, 3, 7, 9, 11] возникают благодаря существованию предельной точки в частотном спектре, когда частота волны стремится к конечному пределу при стремлении волнового числа к бесконечности. В нашем случае предельная частота равна нулю, а под волновым числом подразумевается вертикальное волновое число (горизонтальное волновое число фиксировано). Ключевой факт состоит в том, что фазовая и групповая скорости волн с большими волновыми числами здесь имеют разные знаки (похоже, это типичная ситуация в присутствии предельной точки). Можно сказать, что граница, колеблющаяся с предельной частотой, порождает очень короткие волны с фазовой скоростью, направленной от границы, и групповой скоростью, направленной к границе. Такие волновые пакеты не могут убежать далеко от границы и с течением времени формируют пограничный слой.

Источник финансирования. Работа выполнялась в рамках Госзадания (№ 0149-2018-0001). Анализ точного решения (разделы 1–3) выполнен при поддержке РНФ (проект № 14-50-00095), асимптотический анализ (разделы 4, 5) — при поддержке Минобрнауки РФ (проект № 14.W03.31.0006), численные эксперименты (в разделах 3, 5) — при поддержке РФФИ (проект № 17-05-00094-а).

作者简介

G. Reznik

编辑信件的主要联系方式.
Email: greznikmd@yahoo.com
俄罗斯联邦, Moscow

参考

补充文件