Run-up of nonlinear monochromatic wave on a plane beach in presence of a tide

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Накат волн на побережье в большинстве районов Мирового океана происходит в присутствии прилива, высота которого может быть значительной. В случае цунами подход волны во время прилива (высокой воды) усугубляет катастрофу, и цунами проникает на большие расстояния в глубь побережья. Напротив, во время отлива (малая вода) даже сильное цунами может оказаться незаметным, и такие случаи известны из наблюдений. Именно поэтому в международной практике принято измерять характеристики цунами «без прилива», вычитая последний из мареограмм или просто уменьшая соответственно высоту волны в наблюдениях. Сам прилив в настоящее время хорошо предвычисляется, так что ошибки, связанные с приливными колебаниями, могут быть минимизированы. При расчете же общего уровня подъема воды колебания прилива складываются с колебаниями цунами по принципу линейной суперпозиции [3].

Между тем воздействие цунами на побережье с учетом прилива представляет собой сложную нелинейную задачу, и простой суперпозиции волн цунами и приливных волн недостаточно. Так, значительная роль прилива в процессе генерации волн цунами оползнями отмечается в работе [17]. Во время большой воды береговой склон разжижается, а во время отлива может потерять устойчивость и сползти в воду, генерируя при этом волну цунами. Взаимодействие волн с приливом влияет на экологию прибрежной зоны, в частности на смешение пресных грунтовых вод с соленой морской водой [11]. В численных расчетах трансформации волн цунами с приливом в одном из населенных пунктов Испании демонстрируется, что максимальная глубина потока воды на берегу очень сильно зависит от приливного уровня, в то время как максимальная высота наката менее подвержена такому влиянию [8]. Приливные колебания могут воздействовать на цунами и на подходе их к бухтам, усиливая или ослабляя в зависимости от фазы прилива [4]. Проникновение волн цунами в реки также зависит от уровня прилива, и численные эксперименты подчеркивают важную роль взаимодействия цунами с приливом и речным стоком [6, 9, 10]. Эти выводы, хорошо понятные с точки зрения геофизики, получены численно. Насколько нам известно, аналитические решения, описывающие влияние прилива на характеристики наката волн цунами на берег, отсутствуют, за исключением работы [7], в которой рассматривается накат волны на вертикальную стенку. Целью настоящей статьи является исследование влияния прилива на высоту наката длинной необрушенной волны на плоский откос в рамках одномерной нелинейной теории мелкой воды.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим простейшую задачу наката длинных волн на плоский откос в присутствии приливных колебаний уровня воды. Анализ мы проведем в рамках нелинейной теории мелкой воды, уравнения которой запишем в классическом виде:

$\frac{\partial \text{η}}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\left[\left(h+\text{η}\right)u\right]=0$, (1)

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+g\frac{\partial \eta }{\partial x}=0$, (2)

где η — смещение уровня моря, u — усредненная по глубине скорость водного потока, g — ускорение свободного падения и $h\left(x\right)=-\text{α}x$ — переменная глубина бассейна, α — тангенс угла наклона берега к горизонту (рис. 1). Ось x направлена к берегу, и невозмущенный урез находится в точке х = 0. Граничным условием на берегу является равенство нулю полной глубины:

$H(x,t)=h\left(x\right)+\text{η}\left(x{,}^{}t\right)=0$, (3)

которое определяет положение подвижного уреза x(t) со временем.

 

Рис. 1. Геометрия задачи.

 

Решение нелинейных уравнений (1)–(2) обычно находится с помощью преобразования Карриера-Гринспана [2, 5], сводящего систему (1)–(2) к линейному волновому уравнению для вспомогательной функции Ф(σ, λ) в новых переменных σ и λ:

$\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial {\text{λ}}^2}-\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial {\text{σ}}^2}-\frac{1}{\text{σ}}\frac{\partial \Phi }{\partial \text{σ}}=0$, (4)

и все физические переменные находятся явно через данную функцию Ф(σ, λ):

$\text{η}=\frac{1}{2g}\left(\frac{\partial \Phi }{\partial \text{λ}}-u^2\right)$, $u=\frac{1}{\text{σ}}\frac{\partial \Phi }{\partial \text{σ}}$, (5)

$x=\frac{1}{2\text{α}g}\left(\frac{\partial \Phi }{\partial \text{λ}}-u^2-\frac{{\text{σ}}^2}{2}\right)$, $t=\frac{1}{\text{α}g}\left(\text{λ}-u\right)$. (6)

Такое аналитическое представление задачи связано с тем, что исходная система (1)–(2) в терминах полной глубины является гиперболической системой с постоянными коэффициентами, что позволяет использовать классическое преобразование годографа (Лежандра) (см. [2, 5]). Возникающая при этом волновая функция Ф не имеет физического смысла, но через нее полностью определяются физические переменные. Обратим внимание, что переменная λ пропорциональна времени, а σ пропорциональна полной глубине бассейна:

$\text{σ}=2\sqrt{gH\left(x{,}^{}t\right)}$, (7)

так что точка σ = 0 соответствует подвижному урезу. В результате, волновое уравнение (4) решается на полуоси σ ≥ 0, и граничное условие на подвижном урезе (3) трансформируется в

$\Phi (\text{σ}={\mathrm{0,}}^{}\text{λ})<\infty$, $\frac{\partial \Phi }{\partial \text{σ}}(\text{λ}{,}^{}\text{σ}=0)=0$, (8)

обеспечивая ограниченность волнового поля (смещения и скорости) на урезе.

Преобразование Карриера-Гринспана неоднократно использовалось в литературе для анализа наката длинных волн на плоский откос и получения разнообразных характеристик наката. Одним из свойств полученного Карриером и Гринспаном решения для плоского откоса является возможность использования двухшагового подхода для изучения свойств движущегося уреза [2]: на первом этапе решается линейная задача и определяется вертикальное смещение уровня воды на неподвижном урезе (х = 0): R(t) и скорость частиц в этой точке U(t), а затем находятся «истинные» нелинейные вертикальные смещения подвижного уреза (σ = 0): r(t) и скорость движения подвижного уреза u(t) по формулам:

$r\left(t\right)=R\left(t+\frac{u}{g\text{α}}\right)-\frac{u^2}{2g}$, $u\left(t\right)=U\left(t+\frac{u}{g\text{α}}\right)$. (9)

Более того, удается записать критерий обрушения волны, под которым понимается градиентная катастрофа — обращения в бесконечность du/dt:

$\text{Br}=\frac{\max (d^{2}R/d{t}^2)}{g{\text{α}}^2}=1$. (10)

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ

Мы выполнили серию численных расчетов динамики волн на фоне прилива по формулам (4)–(6), где в качестве функции Ф(σ, λ) взята сумма приливной и «цунамной» компонент функции:

$\Phi =A_0{\mathrm{J}}_0\left(\frac{\Omega \text{σ}}{g\text{α}}\right)\sin \left(\frac{\Omega \text{λ}}{g\text{α}}\right)+A{\mathrm{J}}_0\left(\frac{\text{ωσ}}{g\text{α}}\right)\sin \left(\frac{\text{ωλ}}{g\text{α}}+\text{φ}\right)$, (11)

и φ представляет собой сдвиг фаз между ними. Здесь A₀ и А — амплитудные характеристики прилива и цунами (высоты прилива и цунами рассчитываются по формуле (5)), Ω — частота прилива, ω — частота цунами, а J₀ — функция Бесселя первого рода. В качестве примера взята волна цунами с периодом 10 минут и амплитудой наката 8.9 м на фоне прилива с периодом 12 часов и амплитудой 3 м. Тангенс угла берегового склона α равен 0.01. Параметр обрушения для этого случая, рассчитанный по формуле (10), равен Br = 0.99, что характеризует сильно нелинейные волны перед самым обрушением. Сдвиг фаз φ = 0. Из-за большой разницы в периодах прилив фактически представляет собой «статическое» смещение уровня воды в соответствующей фазе с очень малой скоростью течения, однако здесь мы не будем использовать это естественное физическое предположение.

Колебания уровня воды и скорость движения уреза показаны на рис. 2–4. Можно сказать, что колебания уровня воды на урезе (рис. 2) представляют собой суперпозицию прилива и волн цунами. Это подтверждает и рис. 3, на котором проведено сравнение динамики цунами в условиях максимального и минимального приливов. Скорость же движения уреза полностью определяется волнами цунами. Нелинейные эффекты, связанные с фазой прилива, проявляются в незначительном изменении скорости волн на берегу и достаточно малы (рис. 4). Так, из рис. 4 видно, что при отливе слегка повышаются скорости наката волн цунами, в то время как при максимальном приливе слегка увеличиваются скорости отката.

 

Рис. 2. Колебания волн с периодом 10 минут и амплитудой наката 8.9 м на берегу на фоне прилива с периодом 12 часов и амплитудой 3 м. Тангенс угла берегового склона α = 0.01. Сдвиг фаз φ = 0.

 

Рис. 3. Сравнение колебаний наката волн при максимальном приливе (сплошная линия) и отливе (штриховая линия) для условий рис. 2.

 

Рис. 4. Сравнение скоростей наката волн при максимальном приливе (сплошная линия) и отливе (штриховая линия) для условий рис. 2.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, нами рассмотрен накат длинной волны на плоский откос в присутствии прилива. Исследование проводилось в рамках нелинейной теории мелкой воды с помощью преобразования Карриера-Гринспана. Расчеты подтверждают, что за время добегания волны до берега прилив можно считать однородным в пространстве. Даже в случае сильно нелинейного режима, когда длинные волны близки к обрушению, колебания уровня воды на берегу представляют собой почти линейную суперпозицию прилива и волн цунами. Скорость же движения уреза полностью определяется волнами цунами. Нелинейные эффекты, связанные с фазой прилива, проявляются в малом изменении скорости волн на берегу; при отливе скорости наката длинных волн цунами повышаются, а при приливе растет скорость отката волны от берега. Эти выводы обусловлены сильной идеализацией задачи (необрушенные волны, плоский откос, простирающийся на берег, одномерное распространение). При этом очевидно, что береговой откос не является постоянным и может перейти в любой другой, например в почти пологий пляж. В этом случае волна цунами во время высокой воды может очень далеко проникнуть на побережье в отличие от низкой воды. Однако для такого откоса, как и для пространственной задачи, не удается получить аналитического решения, которое могло бы использоваться в качестве тестового в численных расчетах.

Источник финансирования. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта PUT1378, грантов РФФИ (№ 17-05-00067 и № 18-05-80019), а также гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации НШ-2685.2018.5.

About the authors

I. I. Didenkulova

Tallinn University of Technology; Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev

Author for correspondence.
Email: dii@appl.sci-nnov.ru

Department of Marine Systems

Estonia, Tallinn; Nizhny Novgorod, Russia

E. N. Pelinovsky

Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev; Federal Research Center "Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences"; National Research University — Higher School of Economics; Special Research Bureau for Automation of Marine Researches

Email: pelinovsky@appl.sci-nnov.ru
Russian Federation, Nizhny Novgorod; Nizhny Novgorod; Moscow; Yuzhno-Sakhalinsk

References

Supplementary files