On optimal bounds in the local semicircle law under four moment condition
- Authors: Götze F.1, Naumov A.A.2,3, Tikhomirov A.N.2,4
-
Affiliations:
- Билефельдский университет
- Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
- Институт проблем передачи информации Российской Академии наук
- Коми научный центр Уральского отделения Российской Академии наук
- Issue: Vol 484, No 3 (2019)
- Pages: 265-268
- Section: Mathematics
- URL: https://journals.eco-vector.com/0869-5652/article/view/11755
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0869-56524843265-268
- ID: 11755
Cite item
Full Text
Abstract
We consider symmetric random matrices with independent mean zero and unit variance entries in the upper triangular part. Assuming that the distributions of matrix entries have finite moment of order four, we prove optimal bounds for the distance between the Stieltjes transforms of the empirical spectral distribution function and the semicircle law. Application concerning the convergence rate in probability of the empirical spectral distribution to the semicircle law is discussed as well.
About the authors
F. Götze
Билефельдский университет
Author for correspondence.
Email: anaumov@hse.ru
Germany
A. A. Naumov
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»; Институт проблем передачи информации Российской Академии наук
Email: anaumov@hse.ru
Russian Federation, Москва
A. N. Tikhomirov
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»; Коми научный центр Уральского отделения Российской Академии наук
Email: anaumov@hse.ru
Russian Federation, Москва; Сыктывкар
References
- Пастур Л.А. О спектре случайных матриц // ТМФ. 1972. Т. 10. № 1. С. 102–112.
- Bai Z., Silverstein J. Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices. B.: Springer, 2010.
- Wigner E. On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices // Ann. Math. 1958. V. 67. P. 325–327.
- Erdös L., Yau H.-T. A Dynamical Approach to Random Matrix Theory // Courant Lect. Notes. 2017. V. 28.
- Erdös L., Schlein B., Yau H.-T. Semicircle Law on Short Scales and Delocalization of Eigenvectors for
- Götze F., Naumov A., Tikhomirov A. Local Semicircle Law under Moment Conditions: The Stieltjes Trans- form, Rigidity, and Delocalization // Theory Probab. Appl. 2018. V. 62. № 1. P. 58–83.
- Götze F., Naumov A., Tikhomirov A., Timushev A. On the Local Semicircle Law for Wigner Ensembles // Bernoulli. 2018. V. 24. № 3. P. 2358–2400.
- Aggarwal A. Bulk Universality for Generalized Wigner Matrices with Few Moments // Probab. Theory and Related Fields. 2018. P. 1–58.
- Cacciapuoti C., Maltsev A., Schlein B. Bounds for the Stieltjes Transform and the Density of States of Wigner Matrices // Probab. Theory and Related Fields. 2015. V. 163. № 1. P. 1–59.