Email this article On the finiteness of the number of elliptic fields with given degrees of S-units and periodic expansion of √f
- Authors: Platonov V.P.1,2, Petrunin M.M.1, Shteinikov Y.N.1
-
Affiliations:
- Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences
- Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
- Issue: Vol 488, No 3 (2019)
- Pages: 237-242
- Section: Mathematics
- URL: https://journals.eco-vector.com/0869-5652/article/view/16244
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0869-56524883237-242
- ID: 16244
Cite item
Full Text
Abstract
For a field k of characteristic 0, up to a natural equivalence relation, it is proved that the number of nontrivial elliptic fields k(x)() with a periodic expansion of ∈ k((x)), for which the corresponding elliptic curve contains a k-point of even order less or equal than 18 or k-point of odd order less or equal than 11, is finite. In case k is a quadratic extension of Q, all such fields are found.
Keywords
About the authors
V. P. Platonov
Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences; Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
Author for correspondence.
Email: platonov@niisi.ras.ru
Academician of the Russian Academy of Sciences
Russian Federation, 36-1, Nakhimovsky prospect, Moscow, 117218; 8, Gubkina street, Moscow, 117966M. M. Petrunin
Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences
Email: petrushkin@yandex.ru
Russian Federation, 36-1, Nakhimovsky prospect, Moscow, 117218
Yu. N. Shteinikov
Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences
Email: yuriisht@yandex.ru
Russian Federation, 36-1, Nakhimovsky prospect, Moscow, 117218
References
- Abel N.H. Ueber die integration der differential-formel pdx/√R wenn r und p ganze functionen sind // J. für die reine und angewandte Mathematik. 1826. V. 1. S. 185-221.
- Tchebicheff P. Sur l’intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d’un polynome du troisieme ou du quatrieme degré’ // J. des math. pures et appl. 1857. V. 2. P. 168-192.
- Платонов В.П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // Успехи мат. наук. 2014. Т. 69:1. № 415. С. 3-38.
- Schmidt W.M. On continued fractions and Diophantine approximation in power series fields // Acta arithmetica. 2000. V. 95. № 2. P. 139-166.
- Петрунин М.М. S-единицы и периодичность квадратного корня в гиперэллиптических полях // ДАН. 2018. Т. 474. № 2. С. 155-158.
- Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Мат. сб. 2018. Т. 4. № 209. С. 54-94.
- Платонов В.П., Жгун В.С., Петрунин М.М., Штейников Ю.Н. О конечности гиперэллиптических полей со специальными свойствами и периодическим разложением √f // ДАН. 2018. Т. 483. № 6. С. 603-608.
- Платонов В.П., Жгун В.С., Федоров Г.В. О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях над квадратичным полем констант // ДАН. 2018. Т. 482. № 2. С. 137-141.
- Беняш-Кривец В.В., Платонов В.П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Мат. сб. 2009. Т. 200. № 11. С. 15-44.
- Kenku M.A., Momose F. Torsion points on elliptic curves defined over quadratic fields // Nagoya Math. J. 1988. V. 109. P. 125-149.
- Kamienny Sh., Najman F. Torsion groups of elliptic curves over quadratic fields // Acta Arithmetica. 2012. V. 3. № 152. P. 291-305.
- Платонов В.П., Петрунин М.М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Тр. МИАН. 2018. Т. 302. С. 354-376.
Supplementary files
