On the finiteness of the number of elliptic fields with given degrees of S-units and periodic expansion of √f

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

For a field k of characteristic 0, up to a natural equivalence relation, it is proved that the number of nontrivial elliptic fields k(x)(f) with a periodic expansion of f ∈ k((x)), for which the corresponding elliptic curve contains a k-point of even order less or equal than 18 or k-point of odd order less or equal than 11, is finite. In case k is a quadratic extension of Q, all such fields are found.

About the authors

V. P. Platonov

Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences; Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: platonov@niisi.ras.ru

Academician of the Russian Academy of Sciences

Russian Federation, 36-1, Nakhimovsky prospect, Moscow, 117218; 8, Gubkina street, Moscow, 117966

M. M. Petrunin

Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences

Email: petrushkin@yandex.ru
Russian Federation, 36-1, Nakhimovsky prospect, Moscow, 117218

Yu. N. Shteinikov

Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences

Email: yuriisht@yandex.ru
Russian Federation, 36-1, Nakhimovsky prospect, Moscow, 117218

References

  1. Abel N.H. Ueber die integration der differential-formel pdx/√R wenn r und p ganze functionen sind // J. für die reine und angewandte Mathematik. 1826. V. 1. S. 185-221.
  2. Tchebicheff P. Sur l’intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d’un polynome du troisieme ou du quatrieme degré’ // J. des math. pures et appl. 1857. V. 2. P. 168-192.
  3. Платонов В.П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // Успехи мат. наук. 2014. Т. 69:1. № 415. С. 3-38.
  4. Schmidt W.M. On continued fractions and Diophantine approximation in power series fields // Acta arithmetica. 2000. V. 95. № 2. P. 139-166.
  5. Петрунин М.М. S-единицы и периодичность квадратного корня в гиперэллиптических полях // ДАН. 2018. Т. 474. № 2. С. 155-158.
  6. Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Мат. сб. 2018. Т. 4. № 209. С. 54-94.
  7. Платонов В.П., Жгун В.С., Петрунин М.М., Штейников Ю.Н. О конечности гиперэллиптических полей со специальными свойствами и периодическим разложением √f // ДАН. 2018. Т. 483. № 6. С. 603-608.
  8. Платонов В.П., Жгун В.С., Федоров Г.В. О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях над квадратичным полем констант // ДАН. 2018. Т. 482. № 2. С. 137-141.
  9. Беняш-Кривец В.В., Платонов В.П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Мат. сб. 2009. Т. 200. № 11. С. 15-44.
  10. Kenku M.A., Momose F. Torsion points on elliptic curves defined over quadratic fields // Nagoya Math. J. 1988. V. 109. P. 125-149.
  11. Kamienny Sh., Najman F. Torsion groups of elliptic curves over quadratic fields // Acta Arithmetica. 2012. V. 3. № 152. P. 291-305.
  12. Платонов В.П., Петрунин М.М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Тр. МИАН. 2018. Т. 302. С. 354-376.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Russian academy of sciences