Том 19, № 4 (2015)

В работе рассматриваются интегральные уравнения второго рода с суммарно-разностным ядром. Такими уравнениями описывается ряд физических процессов, происходящих в среде с отражающей границей. Отмечаются трудности, возникающие при их приближенном решении методами гармонического анализа, механических квадратур и др. Для численно-аналитического решения рассматриваемого уравнения в неособом случае развивается метод усреднения ядра. Метод усреднения ядра, имеющий некоторую общность с методом полос, ранее был применен в одной (совместной) работе автора для решения интегрального уравнения Винера-Хопфа. Этот метод сводит исходное уравнение к линейной алгебраической системе с теплиц-плюс-ганкелевой матрицей. Получена оценка для погрешности в различных функциональных пространствах. В случае большой размерности полученной алгебраической системы его решение известными методами линейной алгебры может оказаться весьма затруднительным. В предлагаемом методе решения данной системы существенным образом используется сверточная структура этой системы. При этом сочетаются метод нелинейных уравнений факторизации и дискретный аналог одного специального факторизационного метода, развитого ранее автором для интегральных уравнений.

Изучена первая краевая задача для уравнения эллиптико-гиперболического типа с двумя перпендикулярными внутренними линиями изменения типа и спектральным параметром. Доказаны единственность и существование решения. При доказательстве единственности используется полнота в пространстве $L_2$ системы, биортогонально сопряженной с системой собственных функций соответствующей одномерной задачи. При построении решения в виде суммы ряда по биортогональной системе функций возникает проблема малых знаменателей. Получены оценки об отделимости знаменателей от нуля.

Исследуется задача определения ядра интегрального слагаемого в одномерном интегро-дифференциальном уравнении теплопроводности по известному решению задачи Коши для этого уравнения. В начале исходная задача заменяется эквивалентной задачей, где в дополнительное условие входит искомое ядро без интеграла. Изучаются вопросы о единственности нахождения этого ядра. Далее в предположении, что существуют два решения $k_1(x,t)$ и $k_2(x,t)$, получены интегро-дифференциальные уравнения, условия Коши и дополнительные условия для разностей решений задач Коши, соответствующих функциям $k_1(x,t)$, $k_2(x,t)$. Дальнейшие исследования проводятся для разности $k_1(x,t) - k_2(x,t)$ решений поставленной задачи и с помощью техники оценок интегральных уравнений показывается, что $k_1(x,t) \equiv k_2(x,t)$ в классе ядер $k(x,t),$ представимых в виде $k(x,t)=\sum_{i=0}^N a_i(x)b_i(t)$. Таким образом, доказана теорема о единственности решения поставленной задачи.

Показано, что простой постулат «Поле смещений вакуума есть нормированное электрическое поле» эквивалентен трёхпараметрическому представлению поля смещения вакуума: $$ u(x;t) = P(x) \cos k(x)t + Q(x) \sin k(x)t. $$ Здесь $t$ -- время; $k(x)$ -- частота колебаний в точке $x$ трёхмерного евклидова пространства; $P(x)$, $Q(x)$ -- ортонормированная пара стационарных векторных полей; $(k,P, Q)$ -- список параметров смещения. При этом нормировочный коэффициент $k^2(x)$ имеет размерность $T^{-2}$. Он обеспечивает единичную норму смещения $u(x;t)$ при любом $t$. Скорость поля смещений $$ v(x;t) = \frac{\partial u(x;t)}{\partial t} = k(x)(Q(x) \cos k(x)t - P(x) \sin k(x)t). $$ Напряжённость электрического поля, отвечающего указанному распределению поля смещения вакуума, даётся формулой $$ E(x;t) = -\frac{\partial v(x;t)}{\partial t} = k^2(x)u(x;t). $$ При этом магнитная индукция $$ B(x;t) = \mathop{\mathrm{rot }} v(x;t). $$ Эти конструкции применяются при отыскании локальных и глобальных решений системы уравнений Максвелла, описывающих динамику электромагнитных полей.

Показано, что введенная автором система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка является наиболее общей системой. Из данной системы можно вывести все системы, решениями которых являются гипергеометрические функций двух переменных со списка Горна и биортогональные системы многочленов Ш. Эрмита и П. Аппеля. При этом основным аппаратом исследования биортогональных многочленов двух переменных являются специальные функции двух переменных. Полученная система гипергеометрического типа позволяет осуществить единый подход к построению систем биортогональных многочленов. Установлены всевозможные особые кривые изучаемой системы. Существование регулярных решений установлено методом Фробениуса-Латышевой.

Рассмотрены вопросы об однозначной разрешимости обратной задачи для одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма в частных производных четвертого порядка с вырожденным ядром. Развит метод вырожденного ядра в случае обратной задачи для рассматриваемого интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма в частных производных четвертого порядка. С помощью обозначения интегро-дифференциальное уравнение типа Фредгольма сведено к системе интегральных уравнений. Система интегральных уравнений путем дифференцирования сведена к системе дифференциальных уравнений. При выполнении определенного условия система дифференциальных уравнений заменена системой алгебраических уравнений. При регулярных значениях спектрального параметра решена система алгебраических уравнений методом Крамера. Использование дополнительного условия относительно основной неизвестной функции позволило получить нелинейное интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода и относительно функции восстановления получить специальное интегральное уравнение типа Вольтерра первого рода. Применен метод последовательных приближений в сочетании с методом сжимающих отображений. Далее определяется функция восстановления. Данная работа является дальнейшим развитием теории интегро-дифференциальных уравнений типа Фредгольма с вырожденным ядром.

Предложена двухслойная математическая модель шейки бедренной кости человека, армированной имплантатами различной конструкции, для моделирования напряжённо-деформированного состояния, возникающего при хирургической методике профилактики переломов шейки бедра путём принудительного введения металлических имплантатов. Приведены спроектированные конструкции имплантатов. Разработаны методика и программное обеспечение для геометрического моделирования бедренной кости с внедрёнными имплантатами. Сформулированы постановки новых краевых задач для оценки кинетики напряжённо-деформированного состояния в армированной и неармированной шейке бедра при длительных статических нагрузках, соответствующих хождению человека, в условиях ползучести. Приведены эффективные упругие характеристики для компактной и губчатой костных тканей, силовые и кинематические граничные условия задач. Построена феноменологическая модель ползучести компактной костной ткани, разработана методика идентификации параметров и выполнена проверка её адекватности экспериментальным данным. На основе метода конечных элементов разработан численный метод решения поставленных краевых задач на уровне макромеханики сплошных сред. Многочисленные вариативные расчёты позволили выработать рекомендации по рациональному позиционированию имплантатов для максимального снижения концентрации напряжений. Выполненный анализ показал, что происходит существенная релаксация напряжений в наиболее нагруженных областях вследствие ползучести, причём в армированной шейке бедра она происходит более интенсивно, чем в неармированной. Так, для имплантата «спица + спица» при длительности нагружения в течение 1 года при естественных нагрузках, соответствующих хождению человека, напряжённость в наиболее нагруженной области шейки бедра вследствие ползучести снижается на 49 % по отношению к напряжённости в начальный момент приложения нагрузки. Установлено, что временная составляющая (длительная стационарная нагрузка) не ухудшает положительный эффект от снижения концентрации напряжений за счёт армирования шейки бедра, что является позитивным моментом с точки зрения медицинской практики.