Том 26, № 4 (2022)

Изучены краевые задачи для одномерного интегро-дифференциального уравнения соболевского типа с граничными условиями первого и третьего родов с двумя операторами дробного дифференцирования $\alpha$ и $\beta$ разных порядков. Построены разностные схемы порядка аппроксимации $O(h^2+{\tau }^2)$ при $\alpha =\beta$ и $O(h^2+{\tau }^{2-\max \{\alpha ,\beta \}})$ при $\alpha \ne \beta$. С помощью метода энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следуют существование, единственность, устойчивость, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Проведены численные эксперименты, иллюстрирующие полученные в работе результаты.

Изучена начальная задача для уравнения колебаний прямоугольной пластины с граничными условиями типа «шарнир–заделка». Установлено энергетическое неравенство, из которого следует единственность решения поставленной начально-граничной задачи. Доказаны соответствующие теоремы существования и устойчивости решения задачи в классах регулярных и обобщенных решений. Существование решения поставленной задачи проводится методом спектрального анализа и оно построено в виде суммы ортогонального ряда по системе собственных функций соответствующей двумерной спектральной задачи, которая строится методом разделения переменных. Дано полное обоснование сходимости построенного трехмерного ряда в классе регулярных решений рассматриваемого уравнения. Обобщенное решение определяется как равномерный предел последовательности регулярных решений начально-граничной задачи.

Цель. Исследуются нелинейные колебания упругой шарнирно опертой пластины на вязкоупругом основании под действием подвижной осциллирующей нагрузки в случае внутреннего резонанса 1:1, сопровождаемого внешним резонансом. Свойства вязкоупругого основания задаются с помощью обобщенной модели Фусса–Винклера, в которой сила демпфирования описывается моделью стандартного линейного твердого тела с дробной производной Римана–Лиувилля. Внешняя нагрузка задается при помощи линейного вязкоупругого осциллятора на основе модели Кельвина–Фойгта с дробной производной в случае, когда вязкость осциллятора считается малой величиной. Динамическое поведение пластины описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по времени относительно обобщенных перемещений. Методы. Для решения полученной системы уравнений используется метод многих временных масштабов в сочетании с методом разложения дробной производной в ряд Тейлора. Результаты. Получены разрешающие уравнения для определения нелинейных амплитуд и фаз вынужденных колебаний, решение которых получено численно. Данная система уравнений позволяет управлять не только демпфирующими свойствами окружающей среды и основания за счет изменения параметров дробности, но также регулировать параметры демпфирования внешней нагрузки. Выводы. Численный анализ показал, что в рассматриваемой системе «пластина на вязкоупругом основании + подвижная осциллирующая нагрузка» происходит перекачка энергии между взаимодействующими модами колебаний. Представлено сравнение результатов численных исследований для различных значений внешней нагрузки, а также показана зависимость амплитуд нелинейных колебаний от значений параметров дробности окружающей среды и основания.

Проведен анализ точности элементов орбит, полученных по координатам и компонентам скоростей, найденных с помощью коэффициентов многочленов Чебышева планетного каталога DE405. Для исследования на интервале времени с 1600 по 2200 гг. проведено сопоставление элементов орбит, найденных с помощью каталога DE405, а также полученных на основании численного интегрирования уравнений движения, основанных на взаимодействии движущихся материальных тел с окружающим пространством. На примере численного интегрирования уравнений движения Луны показано преимущество использования уравнений движения, основанных на взаимодействии движущихся материальных тел с окружающим пространством по сравнению с релятивистскими уравнениями. На основании сравнения элементов орбит Меркурия, полученных путем решения уравнений, основанных на взаимодействии движущихся материальных тел с окружающим пространством и найденных с помощью использования каталога DE405, показано, что на исследуемом интервале времени элементы орбит практически совпадают. Максимальное расхождение в средней аномалии на конце интервала интегрирования составляет менее 1′′ (секунды дуги). Определены невязки вековых смещений перигелиев для Меркурия, Венеры, Земли + Луны и Марса, значения которых для DE405 соответственно равны: 43.08′′, 8.4′′, 3.83′′ и 1.14′′. Показано, что погрешности вековых смещений перигелиев планет Меркурия, Венеры, барицентра Земли + Луны и Марса, полученные при использовании каталога DE405, принимают следующие значения: 0′′, 6.06′′, 3.83′′ и 1.08′′. Для внешних планет: Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и карликовой планеты Плутон на основании рассмотренных сравнений различных уравнений движения расхождений элементов орбит не обнаружено. На основании проведенных исследований показано, что использование гармонических координат в релятивистских уравнениях при создании каталога DE405 оправдано только для Меркурия и внешних планет: Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и карликовой планеты Плутон.

На базе модели неполной обратимости деформации ползучести предложены определяющие уравнения для неодноосного напряженного состояния металлов при сложных путях нагружения. Предполагается независимое развитие тензоров вязкоупругой, вязкопластической и вязкой компонент деформации ползучести. Кинетика деформирования связывается с исходной и деформационной анизотропией. Мерой интенсивности ползучести исходно ортотропных материалов принято эквивалентное напряжение, введенное Хиллом. В этом случае не требуется подобие девиаторов напряжений и деформаций. Характер деформационной анизотропии связывается со значением вязкопластической компоненты деформации в направлении главных осей тензора напряжений. Предполагается суперпозиция исходной и деформационной анизотропии. Испытывались образцы из исходно изотропных материалов: из инструментальной стали 3ХВ4СФ по режимам ее работы в контейнерах для прессования алюминиевых сплавов; из жаропрочного сплава ЭИ437Б по условиям работы дисков и лопаток газотурбинных двигателей. Расчет реологических коэффициентов исходно изотропных материалов 3ХВ4СФ и ЭИ437Б производился по результатам одноосных испытаний на растяжение образцов при нескольких уровнях начальных напряжений. Проведен сравнительный анализ прогноза при сложном нагружении по предлагаемым уравнениям с результатами испытаний.