CALCULATION OF INSTANT-RIGID HINGED-ROD SYSTEMS WITH MISSING LINKS

Cover Page

Abstract


The problem of determination of forces and displacements in a spatial hinged-rod system with missing (up to geometrically unchangeable) links under static loading is considered. Equilibrium equations and geometric relations are writt en in a matrix form. The calculated equations are not linear. To solve the equations we propose a general technique that is not related to assumptions about the structure of the system or the nature of the load based on the fact that the displacements obtained by solving a linear part of the equations can be substantially refi ned by interpreting the nonlinear terms as a load under the action of which the system can be regarded as linear.

Full Text

Рассматривается задача распределения усилий и перемещений, возникающих в пространственной шарнирно-стержневой системе с недостающими (до геометрически неизменяемой) связями при изменении действующей нагрузки. Перемещения отсчитываются от некоторого устойчивого равновесного состояния, называемого начальным, которое считается заданным, если известны нагрузка и соответствующие ей конфигурация системы и усилия в ее элементах (стержнях). За начальное может быть принято любое равновесное состояние: состояние предварительного напряжения, загружение постоянной нагрузкой или одно из предельных состояний. Предполагается, что относительная деформация стержней мала по сравнению с единицей, а для материала стержней справедлива линейная зависимость между напряжениями и деформациями. Эти положения с достаточной степенью точности отражают характер работы материалов, применяемых в вантовых конструкциях. Все дальнейшие рассуждения приводятся к пространственной шарнирно-стержневой системе, которая представляет собой систему материальных точек (шарнирных узлов), соединенных между собой линейно-упругими связями (стержнями). Пусть для определенности система состоит из m-узлов, m0-опорных узлов (прикрепленных к неко- DOI: 10.17673/Vestnik.2018.02.1 5 Градостроительство и архитектура | 2018 | Т. 8, № 2 А.Д. Ахмедов торому неподвижному, недеформируемому телу) и S-стержней. Для того чтобы задать шарнирно-стержневую систему, необходимо прежде всего сообщить информацию об инцидентности ее узлов и стержней. Информация о характере связей отражает топологическую структуру системы. Наглядным способом описания структуры системы является граф [1]. Матрицей инцидентности этого графа называется прямоугольная таблица А, элементы которой аij определяются по графу следующим образом: • если Uj - дуга, исходящая из вершины Pi, то аij = -1; • если Uj - дуга, входящая в вершину Pi, то аij = 1; • если Uj, Pi - не инцидентны, то аij = 0. Матрица инцидентности однозначно определяет граф с пронумерованными вершинами и ребрами, а следовательно, и структуру системы. Пусть известна некоторая конфигурация, в которой система находится в равновесии под действием заданных узловых сил. Система уравнений равновесия, выражающих равенство суммы проекций усилий в стержнях и узловой нагрузки на оси декартовых координат, может быть записана в матричном виде CXi = F, (1) где Xi - вектор погонных усилий, , здесь Ni, li - соответственно усилие и длина i-го стержня; F(Fi k) - вектор узловых нагрузок (k-й блок вектора образован проекциями сил, приложенных в узлах 1, 2, … , m на k-ю ось координат). Матрица коэффициентов уравнений (1) также является блочной. Для пространственной системы k = 1, 2, 3 и матрица С имеет вид: Общее число строк С обозначим q. Для систем с недостающими связями q>S. Задание матрицы инцидентности графа, отражающего структуру системы, позволяет формализовать вычисления коэффициентов матрицы С: (2) (i = 1, …, m; j = 1, …, S; k = 1, 2, 3). Переходя к рассмотрению деформированного состояния системы, получим уравнение CX[1]CX[1]CX = F, (3) где  - приращение соответствующих величин. Матрица C размером qхS учитывает изменение начальной конфигурации и аналогично С является i i i l X  N 3 2 1 C C C C  блочной. Обозначая составляющие перемещения i-го узла по k-й оси координат Ui k, можно записать , (4) (i = 1, …, m; j = 1, …, S; k = 1, 2, 3). Линейность элементов C относительно перемещений позволяет преобразовать второе слагаемое (3) к виду: CX = BU, (5) в котором U(Ui k) - блочный вектор перемещений, а матрица B является квазидиагональной, состоящей из трех одинаковых блоков, элементы которых определяются линейными комбинациями погонных усилий: (6) (i, t = 1, …, m). Подстановка (5) в (3) приводит к уравнению равновесия: CX[1]BU[1]CX=F, (7) в котором два первых слагаемых линейны относительно неизвестных приращений усилий X и перемещений U. Для вывода зависимостей, описывающих геометрическую сторону задачи, рассмотрим деформацию отдельного стержня. Для высокопрочных материалов с учетом пониженного модуля упругости относительная деформация ε≤0,03 позволяет применять известную формулу , (8) где ετ - проекция ε на направление стержня; γ - угол поворота стержня в процессе деформации с учетом принятой линейной зависимости между напряжениями и деформациями. Применяя введенные выше матрицы, приходим к выражению для определения погонных усилий , (9) где G - диагональная матрица, характеризующая жесткость стержней системы; - жесткость на растяжение (сжатие) i-го стержня, символ « » обозначает транспонирование матрицы. Уравнение равновесия (7) и соотношение упругости (9) составляют расчетную систему q+S нелинейных алгебраических уравнений относительно q+S неизвестных компонент векторов U и X. Решение расчетных уравнений является итерационным процессом, основанным на совместном использовании шагового и вариационного методов. На каждой итерации определение неизвестных проводится в два этапа, на каждом из которых принимаk e m ij e ej k ij

About the authors

Akramdzhon D. AKHMEDOV

Samara State Technical University

Email: vestniksgasu@yandex.ru

References

  1. Зыков А.А. Основы теории графов. М.: Вузовская книга, 2004. 664 с.
  2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 2002. 572 с.
  3. Рабинович И.М. Мгновенно-жесткие системы, их свойства и основы расчета. Висячие покрытия. М., 1962. 247 с.
  4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 2005. 368 с.
  5. Ахмедов А.Д., Шляхин Д.А. Исследование напряженно-деформированного состояния вантово-стержневых систем купольного типа // Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций в строительстве и на транспорте: сб. научных трудов. Самара, 2002. 259 с.
  6. Ахмедов А.Д. К вопросу экспериментально-теоретического исследования вантово-стержневых систем купольного типа // Материалы международной научно-технической конференции. Самара, 2002. 100 с.
  7. Ахмедов А.Д. К расчету опорного контура радиально-вантовой двухпоясной системы // Альманах современной науки и образования. 2014. № 5-6 (84). С.27-35.
  8. Ахмедов А.Д. Достаточные условия устойчивости равновесия мгновенно-жестких шарнирно-стержневых систем // Инженерный вестник Дона. 2014. № 4. С. 27-35.
  9. Akmedov A.D., Litikov A.P. Pd. Italian Scitnce Review // Published monthly. Issus 5 (14) May 2014. P. 97-101.

Statistics

Views

Abstract - 65

PDF (Russian) - 19

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions


Copyright (c) 2018 AKHMEDOV A.D.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies