CALCULATION OF INSTANT-RIGID HINGED-ROD SYSTEMS WITH MISSING LINKS

Full Text

Рассматривается задача распределения усилий и перемещений, возникающих в пространственной шарнирно-стержневой системе с недостающими (до геометрически неизменяемой) связями при изменении действующей нагрузки. Перемещения отсчитываются от некоторого устойчивого равновесного состояния, называемого начальным, которое считается заданным, если известны нагрузка и соответствующие ей конфигурация системы и усилия в ее элементах (стержнях). За начальное может быть принято любое равновесное состояние: состояние предварительного напряжения, загружение постоянной нагрузкой или одно из предельных состояний. Предполагается, что относительная деформация стержней мала по сравнению с единицей, а для материала стержней справедлива линейная зависимость между напряжениями и деформациями. Эти положения с достаточной степенью точности отражают характер работы материалов, применяемых в вантовых конструкциях. Все дальнейшие рассуждения приводятся к пространственной шарнирно-стержневой системе, которая представляет собой систему материальных точек (шарнирных узлов), соединенных между собой линейно-упругими связями (стержнями). Пусть для определенности система состоит из m-узлов, m0-опорных узлов (прикрепленных к неко- DOI: 10.17673/Vestnik.2018.02.1 5 Градостроительство и архитектура | 2018 | Т. 8, № 2 А.Д. Ахмедов торому неподвижному, недеформируемому телу) и S-стержней. Для того чтобы задать шарнирно-стержневую систему, необходимо прежде всего сообщить информацию об инцидентности ее узлов и стержней. Информация о характере связей отражает топологическую структуру системы. Наглядным способом описания структуры системы является граф [1]. Матрицей инцидентности этого графа называется прямоугольная таблица А, элементы которой аij определяются по графу следующим образом: • если Uj - дуга, исходящая из вершины Pi, то аij = -1; • если Uj - дуга, входящая в вершину Pi, то аij = 1; • если Uj, Pi - не инцидентны, то аij = 0. Матрица инцидентности однозначно определяет граф с пронумерованными вершинами и ребрами, а следовательно, и структуру системы. Пусть известна некоторая конфигурация, в которой система находится в равновесии под действием заданных узловых сил. Система уравнений равновесия, выражающих равенство суммы проекций усилий в стержнях и узловой нагрузки на оси декартовых координат, может быть записана в матричном виде CXi = F, (1) где Xi - вектор погонных усилий, , здесь Ni, li - соответственно усилие и длина i-го стержня; F(Fi k) - вектор узловых нагрузок (k-й блок вектора образован проекциями сил, приложенных в узлах 1, 2, … , m на k-ю ось координат). Матрица коэффициентов уравнений (1) также является блочной. Для пространственной системы k = 1, 2, 3 и матрица С имеет вид: Общее число строк С обозначим q. Для систем с недостающими связями q>S. Задание матрицы инцидентности графа, отражающего структуру системы, позволяет формализовать вычисления коэффициентов матрицы С: (2) (i = 1, …, m; j = 1, …, S; k = 1, 2, 3). Переходя к рассмотрению деформированного состояния системы, получим уравнение CX[1]CX[1]CX = F, (3) где  - приращение соответствующих величин. Матрица C размером qхS учитывает изменение начальной конфигурации и аналогично С является i i i l X  N 3 2 1 C C C C  блочной. Обозначая составляющие перемещения i-го узла по k-й оси координат Ui k, можно записать , (4) (i = 1, …, m; j = 1, …, S; k = 1, 2, 3). Линейность элементов C относительно перемещений позволяет преобразовать второе слагаемое (3) к виду: CX = BU, (5) в котором U(Ui k) - блочный вектор перемещений, а матрица B является квазидиагональной, состоящей из трех одинаковых блоков, элементы которых определяются линейными комбинациями погонных усилий: (6) (i, t = 1, …, m). Подстановка (5) в (3) приводит к уравнению равновесия: CX[1]BU[1]CX=F, (7) в котором два первых слагаемых линейны относительно неизвестных приращений усилий X и перемещений U. Для вывода зависимостей, описывающих геометрическую сторону задачи, рассмотрим деформацию отдельного стержня. Для высокопрочных материалов с учетом пониженного модуля упругости относительная деформация ε≤0,03 позволяет применять известную формулу , (8) где ετ - проекция ε на направление стержня; γ - угол поворота стержня в процессе деформации с учетом принятой линейной зависимости между напряжениями и деформациями. Применяя введенные выше матрицы, приходим к выражению для определения погонных усилий , (9) где G - диагональная матрица, характеризующая жесткость стержней системы; - жесткость на растяжение (сжатие) i-го стержня, символ « » обозначает транспонирование матрицы. Уравнение равновесия (7) и соотношение упругости (9) составляют расчетную систему q+S нелинейных алгебраических уравнений относительно q+S неизвестных компонент векторов U и X. Решение расчетных уравнений является итерационным процессом, основанным на совместном использовании шагового и вариационного методов. На каждой итерации определение неизвестных проводится в два этапа, на каждом из которых принимаk e m ij e ej k ij

About the authors

Akramdzhon D. AKHMEDOV

Samara State Technical University

Email: vestniksgasu@yandex.ru

References

Supplementary files