Асимптотическое поведение средней стоимости восстановлений в моделях процессов восстановления
- Авторы: Вайнштейн В.И.1, Вайнштейн И.И.1, Сафонов К.В.2
-
Учреждения:
- Сибирский федеральный университет
- Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева
- Выпуск: Том 23, № 4 (2022)
- Страницы: 582-592
- Раздел: Раздел 1. Информатика, вычислительная техника и управление
- URL: https://journals.eco-vector.com/2712-8970/article/view/529689
- DOI: https://doi.org/10.31772/2712-8970-2022-23-4-582-592
- ID: 529689
Цитировать
Полный текст
Аннотация
При эксплуатации ракетно-космической техники, электронно-вычислительных систем, систем электроснабжения, теплоснабжения, транспортных систем и многих других происходят отказы, возникают угрозы атак, безопасности и множество других воздействий, имеющих случайный характер и оказывающих негативную роль на их работу. Такие воздействия приводят к процессам восстановления, в которых время работы восстановленных элементов до их отказа, число отказов, время и стоимость восстановлений являются случайными величинами. В теории вероятностей и математической теории надежности при исследовании процессов восстановления особую роль имеет функция восстановления (среднее значение числа случайных отказов). Особо отметим ее значимость в оптимизационных задачах при выборе стратегии проведения процессов восстановления. Так, одними из важнейших критериев оптимальности являются среднее число отказов, средняя стоимость восстановлений, интенсивность затрат, коэффициент готовности. Также отметим задачу необходимости и времени проведения профилактических восстановлений. В работе в рамках математической теории надежности рассматриваются модели процессов восстановления с учетом стоимости восстановлений с изменяющимися функциями распределения наработок до отказа восстанавливаемых элементов и стоимостями восстановлений. Для рассматриваемых моделей получена формула функции затрат (средней стоимости восстановлений) через функции восстановления двух общих процессов восстановления, позволяющая доказать теоремы о асимптотическом поведении функции затрат, хорошо известные для асимптотического поведения функции восстановления общего процесса восстановления, где не учитывается время восстановлений. Полученные асимптотические теоремы для средней стоимости восстановлений обобщены на введенный альтернирующий (когда учитывается еще и случайное время проведения восстановлений) процесс восстановления с учетом стоимости восстановлений с изменяющимися функциями распределения наработок до отказа восстанавливаемых элементов и стоимостями их восстановлений.
Полный текст
Введение
Одним из важнейших критериев оптимальности в задачах выбора оптимальной стратегии при проведения процесса восстановления является стоимость его проведения. В соответствии с этим мы будем рассматривать процессы восстановления с учетом стоимости восстановлений.
Пусть Xi, i = 1,2,.... - случайные наработки восстановленных элементов от i -1-го до i -го отказа, Xi – наработка элемента до первого отказа и Fi(t)– их функции распределения.
Последовательность неотрицательных независимых случайных величин Xi с функциями распределения Fi(t), i = 1,2,.... называется процессом восстановления [1–6].
Пусть ci, i = 1,2,.... – затраты на i-е восстановление, c0 – стоимость элемента, установленного в начальный момент времени t = 0, и X0– случайная величина, имеющее распределение F0(t) < 0 при t = 0 и F0(t) = 1 при t ≥ 0.
Последовательность (Xi, ci), i = 0,1, будем называть процессом восстановления с учетом стоимости восстановления [6–8]. Такое определение естественно для процессов восстановления в теории надежности технических систем. Имеются другие определения. Так, в [9] это процесс восстановления с доходами, в [10] – обобщенный процесс восстановления.
Процесс восстановления с учетом стоимости на восстановления задает случайную величину N (t) – количество отказов (восстановлений) и случайную величину C (t) – стоимость восстановлений за время от 0 до t :
- n - кратная свертка функций распределения Fi(t), i = 1,2,...., n
Отметим, что n - кратная свертка F(n)(t) является функций распределения суммы рассматриваемых независимых случайных величин Xi, i = 1,2,..., n.
В теории надежности математическое ожидание числа отказов называют функцией восстановления H (t)
Функцию S (t) = E (C(t)) будем называть функцией затрат, S (t) – среднее значение стоимости восстановлений на промежутке [0,t] и, следуя [6; 7],
В реальных условиях эксплуатации функции распределения случайных величин (наработок восстановленных элементов при отказах), определяющие процесс восстановления, могут не совпадать. Естественно, могут изменяться и стоимости восстановлений. Предположения о функциях распределения приводят к различным математическим моделям процессов восстановления.
В работе рассматривается процесс восстановления порядка (k1, k2) с изменявшимися функциями распределения [6; 9; 11–13], обобщающий хорошо изученные в теории вероятностей и теории надежности простой и общий процесс восстановления [1–6].
У процесса восстановления порядка (k1, k2) функции распределения удовлетворяют условию
Числа i, j сравнимы по модулю натурального числа при k (i ≡ j (mod k), если при делении на k, они дают одинаковые остатки.
В случае (1,1) меем простой процесс, в случае (2,1) общий процесс восстановления.
При k1 = 1 (порядок (1, k2) ) имеем периодический процесс восстановления порядка k2, при k2 = 1 ( порядок (k1, 1)) процесс восстановления порядка k1.
Например, при (1,3) (периодический процесс порядка 3) последовательность функций распределения периодического процесса имеет вид
а последовательность функций распределения для процесса порядка (2,2) имеет вид
Этот случай можно интерпретировать как процесс, когда после первого восстановления система через каждые два восстановления возвращается в состояние, в котором находилась после первого восстановления.
Постановка задачи
Обозначим – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение случайной величины
Распределение случайной величины называется решетчатым, если она может принимать только значения вида и
Обозначим HF (t) функцию восстановления простого процесса, образованного функцией распределения F (t), HFG (t) функцию восстановления общего процесса, образованного первой функцией распределения F (t), второй и следующими G (t).
Запишем известные теоремы об асимптотическом поведении функции восстановления для простого и общего процесса восстановления [4; 6].
Пусть распределение F2 (t) не является решетчатым. Для любого начального распределения F1 (t)
Теорема 1 (Элементарная теорема восстановления).
.
Теорема 2 (Основная теорема восстановления). Если – интегрируемая на [0, ) невозрастающая функция, то
.
Теорема 3 (Теорема Блекуэлла). Для любого
.
Теорема 4.
(1)
Для рассмотренных выше процесса k-го порядка, периодического процесса k-го порядка и процесса порядка (k1, k2) сформулированные выше теоремы доказаны в [6; 9; 11].
Цель дальнейшего в доказательстве аналога указанных выше теорем для асимптотического поведении функции затрат S (t) процесса восстановления порядка (k1, k2) с учетом стоимости восстановлений.
Теоремы об асимптотическом поведении функции затрат S (t) процесса восстановления порядка (k1, k2) с учетом стоимости восстановлений
В дальнейшем, если Fi (t) = Fj (t), то и ci = cj что естественно для рассматриваемых моделей процессов восстановления.
Следуя [6–8], запишем интегральное уравнение для функции затрат S (t) рассматриваемого процесса восстановления:
(2)
, при k1 =1.
– свертка всех функций распределения случайных величин , задающих периодическую часть рассматриваемого процесса восстановления,
Функция восстановления HFG (t) = F (t) общего процесса и функция восстановления простого процесса связаны соотношением [4; 6]
(3)
В уравнении (2) сделаем замену:
(4)
Получаем
После сокращения
(5)
, при k1 > 1,
, при k1 =1.
Рассмотрим интегральное уравнение
(6)
Если , то функция является его решением, где функции являются соответственно решениями интегральных уравнений
Учитывая это, решение интегрального уравнения (6) ищем в виде
(7)
Функции V1 (t), V2 (t)являются соответственно решениями интегральных уравнений
(8)
Функции по построению – функции распределения, так как они неубывающие ( – функции распределения),
Теперь, принимая еще во внимание, что и функция также является функцией распределения, в соответствии с (4), заключаем, что решением интегральных уравнений (8) являются функции восстановления общих процессов, задаваемых соответственно первыми функциями распределения , вторыми и последующими .
Таким образом,
(9)
и с учетом (4), (7), (9)
(10)
Полагая в (10) c0 = 0, ci = 1, i ≥ 1, получаем новую формулу функции восстановления процесса порядка (k1, k2)
дополняющую ранее полученные формулы в [6; 12].
Полученное линейное представление (10) функции затрат S (t) процесса восстановления порядка (k1, k2) с учетом стоимости восстановлений через функции восстановления двух общих процессов восстановления дает возможность распространить выше указанные теоремы о асимптотическом поведении функции восстановления общего процесса восстановления на функцию затрат процесса восстановления порядка (k1, k2) с учетом стоимости восстановлений.
Обозначим
,
.
Теорема 1* (Элементарная теорема восстановления). Для любых начальных распределений
Здесь и далее учитываются выше указанные соответствующие теоремы для функции восстановления общего процесса, и что – кратная свертка является функций распределения суммы рассматриваемых независимых случайных величин а также что математическое ожидание случайной величины с функцией распределения определяется по формуле
Теорема 2* (Основная теорема восстановления). Если функции распределения, задающие периодическую часть рассматриваемого процесса восстановления порядка (k1, k2), не являются решетчатыми, а g (t) – интегрируемая на [0, ∞) невозрастающая функция, то
Теорема 3* (Теорема Блекуэлла). Если функции распределения, задающие периодическую часть рассматриваемого процесса восстановления порядка (k1, k2), не является решетчатыми распределениями, то для любого h≥ 0
при любых начальных распределений
Теорема 4*. Пусть наработки имеют конечные дисперсии и функции распределения Фi (t),задающие периодическую часть рассматриваемого процесса восстановления порядка (k1, k2), не являются решетчатыми распределениями. Тогда
(11)
Доказательство. В соответствии с (1) запишем
Здесь учли, что для E (Z1) и E (Z2) случайных величин Z1 и Z2 с функциями распределения соответственно Q1(t), Q2(t)
Далее
Отсюда
.
С учетом (10) получаем формулу (11) асимптотического поведении функции затрат S (t) процесса восстановления порядка (k1, k2) с учетом стоимости восстановлений.
Если в формуле (11) положить c0 = 0, ci = 1, i = 1,2,...., то получим асимптотическое поведении функции H (t) процесса восстановления порядка (k1, k2) [6; 12]
Рассмотрим процесс восстановления с учетом стоимости восстановления, когда в процессе восстановления происходят полные восстановления (Fi (t) = F1 (t), при отказе элемента он заменяется на элемент с той же функцией распределения F1 (t), что и отказавший), но изменяются стоимости заменяемых элементов при отказах, ci = cj при i ≡ j (mod k2), i, j ≥ k1. Отметим, что этот случай характерен при эксплуатации.
Для этого случая из (11) следует
Альтернирущий процесс восстановления порядка (k1, k2)
В теории надежности при определении процесса восстановления предполагается, что восстановление производится за пренебрежимое время по сравнению со временем работы элемента до очередного отказа, т. е. мгновенно. На практике это часто не выполняется. Поэтому наряду со временем безотказной работы, не менее важным может иметь время простоя, время выяснения причин отказа, время самого восстановления. Здесь также, наряду с еще другими характеристиками, важное значение при эксплуатации имеет стоимость восстановления.
Пусть последовательности m (Xn), (Yn) образуют два простых процесса восстановления с функциями распределения F (t), G (t) соответственно. Последовательность (Xn, Yn) называется простым альтернатирующим процессом восстановления [3; 4; 6].
Пусть Yn – время восстановления после n - го отказа, Xn– время наработки элемента после (n-1) -го восстановления. Промежутки между очередными отказами (с учетом времени восстановления) образуют общий процесс восстановления с первой функцией распределения F (t), второй (F*G) (t) . Промежутки между очередными восстановлениями образуют простой процесс восстановления с функцией распределения (F*G) (t) [4; 6].
В соответствии с рассмотренными выше моделями процессов восстановления рассмотрим альтернатирующий процесс восстановления (Xn, Yn) порядка (k1, k2), в котором последовательности (Xn), (Yn) образуют процессы восстановления порядка (k1, k2) с функциями распределения Fn (t) и Gn (t) [6]. При k1 = k2 = 1 имеем простой альтернатирующий процесс восстановления.
Если рассматривать введенный альтернатирующий процесс как последовательность X1, Y1, X2, Y2,...Xn, Yn ..., то приходим к процессу восстановления порядка (2k1 - 1,2k2).
Промежутки между очередными отказами (с учетом времени восстановления) образуют процесс восстановления порядка (2k1 + 1,k2) c функциями распределения
,
а промежутки между очередными восстановлениями образуют процесс восстановления порядка (k1, k2) с функциями распределения [6]
Пусть cn– стоимость n-го восстановления. Сюда, кроме стоимости самого восстановления, могут включаться убытки, штрафы при отказе, простое. Последовательность
назовем альтернирующим процессом восстановления с учетом стоимости восстановлений.
Если последовательность (Xn, Yn) – альтернатирующий процесс восстановления порядка (k1, k2) и ci = cj если Fi (t) = Fj (t), то имеем альтернатирующий процесс восстановления порядка (k1, k2) с учетом стоимости восстановлений [6]. Далее предполагается, что стоимость каждого восстановления фиксируется в момент окончания восстановления. Можно рассматривать и другие подходы, например, когда стоимость восстановлений фиксируется в моменты отказов.
Обозначим через Zn случайное время окончания восстановления после n -го отказа. Тогда и – функция распределения случайной величины Zn.
Отметим еще раз, что пледовательность Zn определяет процесс восстановления порядка (k1, k2), и тем самым для вычисления функции затрат S (t) (средней стоимости восстановлений) рассматриваемого альтернирующего процесса мы переходим просто к процессу восстановления (Zn, cn) порядка (k1, k2) с учетом стоимости восстановлений. После чего, в соответствие с теоремами 1*–4*, можно выписать формулы асимптотического поведения функции затрат введенного альтернирующего процесса восстановления порядка (k1, k2).
Выпишем эти формулы:
,
,
,
,
где
.
Заключение
Многие важнейшие показатели работы технических, информационно вычислительных и многих других систем имеют случайный характер. Так, наряду со случайной величиной числа отказов, важной характеристикой в таких системах при проведении процессов восстановлкения (собенно в оптимизационных задачах по выбору стратегии восстановления) является стоимость восстановлений от начала эксплуатации до произвольного момента времени t.
В связи с этим в работе рассматривается расширение процесса восстановления на процесс восстановления с учетом стоимости восстановлений.
Для моделей процесса восстановления с изменяющимися стоимостями восстановлений и функциями распределения наработок получена формула линейно связывающая среднюю стоимость восстановлений (функцию затрат) с функциями восстановления двух хорошо изученных в теории вероятностей и математической теории надежности общих процессов восстановления.
Это дало возможность в рамках математической теории надежности простого переноса известных теорем об асимптотическом поведении при функции восстановления (среднего числа отказов) на функцию затрат в рассматриваемых моделях (с изменяющимися стоимостями восстановлений и функциями распределения наработок) процессов восстановления с учетом стоимости восстановлений.
Полученные теоремы обобщены на альтернирующий процесс восстановления с учетом стоимости восстановлений, когда еще учитывается случайное время проведения восстановлений.
Отметим, что полученные асимптотические формулы найдут применение в математической и эксплуатационной надежности ракетно-космической техники, электронно-вычислительных систем, систем электроснабжения, теплоснабжения, транспортных систем и многих других технических систем [14].
Еще отметим, что наряду с полученными формулами асимптотического поведения средней стоимости восстановлений будут важны и предельные теоремы для стоимости восстановлений (как случайной величины), аналогичные для числа отказов, полученные в [6; 9; 13; 15], а также нахождение дисперсии стоимости восстановлений в рассматриваемых моделях [16].
Об авторах
Виталий Исаакович Вайнштейн
Сибирский федеральный университет
Автор, ответственный за переписку.
Email: vvaynshtyayn@sfu-kras.ru
кандидат физико-математических наук, доцент, руководитель научно-учебной лаборатории информационной безопасности
Россия, 660041, Красноярск, проспект Свободный, 79Исаак Иосифович Вайнштейн
Сибирский федеральный университет
Email: isvain@mail.ru
кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры ПМиКБ
Россия, 660041, Красноярск, проспект Свободный, 79Константин Владимирович Сафонов
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева
Email: safonovkv@rambler.ru
доктор физико-математических наук, профессор, заведуюший кафедрой прикладной математики
Россия, 660037, Красноярск, проспект имени газеты «Красноярский рабочий», 31Список литературы
- Кокс Д. Р, Смит В. Л. Теория восстановления. М. : Советское радио, 1967. 292 c.
- Вопросы математической надежности / Е. Ю. Барзилович, Ю. К. Беляев, В. А. Кащтанов и др. М. : Радио и связь, 1983. 378 c.
- Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. М. : Наука, 1965. 524 с.
- Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход : пер. с англ. М. :Радио и связь, 1988. 393 c.
- Боровков А. А. Теория вероятностей. М. : Либроком, 2009. 652 с.
- Вайнштейн И. И. Процессы и стратегии восстановления с изменяющимися функциями распределения в теории надежности. Красноярск : СФУ, 2016. 189 с.
- Вайнштейн И. И., Шмидт О. Процессы восстановления с учетом стоимости восстановлений // Вопросы матеметического анализа : сб. науч. тр. Красноярск : КГТУ, 2007. С. 9–13.
- Шмидт О. О. Обобщенная модель процесса восстановления в теории надежности использования информационных тезнологий : дис. … канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2008. 125 c.
- Булинская Е. В. Асимптотическое поведение некоторых стохастических систем хранения // Современные проблемы математики и механики. 2015. Т. 10, № 3. С. 37–62.
- Боровков А. А. Обобщенные процессы восстановления. М. : Либроком, 2020. 455 с.
- Вайнштейн И. И, Вайнштейн В. И, Вейсов Е. А. О моделях процессов восстановления в теории надежности // Вопросы математического анализа : сб. науч. тр. 2003. № 6. С. 78–84.
- Вайнштейн В. И. Математическое и программное обеспечение оптимизации проведения профилактических восстановлений при эксплуатации электронно-вычислительных систем : дис. … канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2006. 149 с.
- Bulinskaya E. V. Limit theorems for generalized renewal processe // Theory of Probability and its Applications. 2018. Vol. 62, No. 1. P. 35–54.
- Надежность технических систем / Е. В. Сугак, Н. В. Василенко, Назаров и др. Красноярск : МГП «Раско», 2001. 608 с.
- Вайнштейн И. И., Михальченко Е. Асимптотика распределения числа восстановлений в процессе восстановления порядка (k_1, k_2) // Вестник СибГАУ. 2012. № 2(42). С. 16–19.
- Вайнштейн В. И. Дисперсия стоимости восстановлений и оптимизационные задачи в процессах восстановления технических и информационных систем // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. 2021. Т. 9, № 2(33).