Asymptotic behavior of the average recovery cost in models of recovery processes

全文:

Введение

Одним из важнейших критериев оптимальности в задачах выбора оптимальной стратегии при проведения процесса восстановления является стоимость его проведения. В соответствии с этим мы будем рассматривать процессы восстановления с учетом стоимости восстановлений.

Пусть X_i, i = 1,2,.... -  случайные наработки восстановленных элементов от i -1-го до i -го отказа,  X_i – наработка элемента до первого отказа и F_i(t)– их функции распределения.

Последовательность неотрицательных независимых случайных величин X_i с функциями распределения F_i(t), i = 1,2,.... называется процессом восстановления [1–6].

Пусть c_i, i = 1,2,.... – затраты на i-е восстановление, c₀ – стоимость элемента, установленного в начальный момент времени t = 0, и  X₀– случайная величина, имеющее распределение F₀(t) < 0 при t = 0 и F₀(t) = 1 при t ≥ 0.

Последовательность (X_i, c_i), i = 0,1,  будем называть процессом восстановления с учетом стоимости восстановления [6–8]. Такое определение естественно для процессов восстановления в теории надежности технических систем. Имеются другие определения. Так, в [9] это процесс восстановления с доходами, в [10] – обобщенный процесс восстановления.

Процесс восстановления с учетом стоимости на восстановления задает случайную величину N (t) – количество отказов (восстановлений) и случайную величину C (t) – стоимость восстановлений за время от 0 до t :

$C\left(t\right)=\sum _{}_{i=0}^{N\left(t\right)}{c}_i,$

$P\left(N\left(t\right)=n\right)=F^{\left(n\right)}\left(t\right)-F^{\left(n+1\right)}\left(t\right),$

$F^{\left(n\right)}\left(t\right)\mathit{ }$- n - кратная свертка функций распределения F_i(t), i = 1,2,...., n

$F^{\left(n\right)}\left(t\right)=\left(F^{\left(n-1\right)}\text{*}{F}_n\right)\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{}}{F}^{\left(n-1\right)}\left(t-x\right)d{F}_n\left(x\right),F^{\left(1\right)}\left(t\right)=F_1\left(t\right).$

Отметим, что n - кратная свертка F⁽ⁿ⁾(t)  является функций распределения суммы рассматриваемых независимых случайных величин X_i, i = 1,2,..., n.

В теории надежности математическое ожидание числа отказов называют функцией восстановления H (t)

$H\left(t\right)=E\left(N\left(t\right)\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{F}^{\left(n\right)}\left(t\right).$                                                    

Функцию S (t) = E (C(t)) будем называть функцией затрат, S (t) – среднее значение стоимости восстановлений на промежутке [0,t] и, следуя [6; 7],

$S\left(t\right)=c_0+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right).$

В реальных условиях эксплуатации функции распределения случайных величин (наработок восстановленных элементов при отказах), определяющие процесс восстановления, могут не совпадать. Естественно, могут изменяться и стоимости восстановлений. Предположения о функциях распределения приводят к различным математическим моделям процессов восстановления.

В работе рассматривается процесс восстановления порядка (k₁, k₂) с изменявшимися функциями распределения [6; 9; 11–13], обобщающий хорошо изученные в теории вероятностей и теории надежности простой и общий процесс восстановления [1–6].

У процесса восстановления порядка (k₁, k₂) функции распределения удовлетворяют условию

$F_i\left(t\right) = F_j\left(t\right) при i \equiv j (mod k_2), i, j \ge k_1).$

Числа i, j сравнимы по модулю натурального числа при k (i ≡ j (mod k), если при делении на k, они дают одинаковые остатки.

В случае (1,1) меем простой процесс, в случае (2,1) общий процесс восстановления.

При k₁ = 1 (порядок (1, k₂) ) имеем периодический процесс восстановления порядка k₂, при k₂ = 1 ( порядок (k₁, 1)) процесс восстановления порядка k₁.

Например, при (1,3) (периодический процесс порядка 3) последовательность функций распределения периодического процесса имеет вид

$\underbrace{(F_1,F_2,F_3)}, \underbrace{(F_1,F_2,F_3)},...,$

а последовательность функций распределения для процесса порядка (2,2) имеет вид

$F_1,\underbrace{F_2,F_3},\underbrace{F_2,F_3},\underbrace{F_2,F_3},\dots .$

Этот случай можно интерпретировать как процесс, когда после первого восстановления система через каждые два восстановления возвращается в состояние, в котором находилась после первого восстановления.

Постановка задачи

Обозначим ${\text{μ}}_i=E\left(X_i\right)$– математическое ожидание, ${\text{σ}}_i=\text{σ}\left(X_i\right)$ – среднее квадратическое отклонение случайной величины $X_i.$

Распределение случайной величины $X$ называется решетчатым, если она может принимать только значения вида $\alpha n, n=\mathrm{0,1,...,}$ и  $\sum _{n=0}^{\infty }P\left(X=n\alpha \right)=1.$

Обозначим HF (t) функцию восстановления простого процесса, образованного функцией распределения F (t), HFG (t) функцию восстановления общего процесса, образованного первой функцией распределения F (t), второй и следующими G (t).

Запишем известные теоремы об асимптотическом поведении функции восстановления для простого и общего процесса восстановления [4; 6].

Пусть распределение F₂ (t) не является решетчатым. Для любого начального распределения F₁ (t)

Теорема 1 (Элементарная теорема восстановления).

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\frac{H{F}_1{F}_2\left(t\right)}{t}=\frac{1}{{\mu }_2.}$.                                           

Теорема 2 (Основная теорема восстановления). Если $g \left(t\right)$ – интегрируемая на [0, $\infty$) невозрастающая функция, то

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}g\left(t-x\right)dH{F}_1{F}_2\left(x\right)=\frac{1}{{\mu }_2}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}g\left(x\right)dx$.

Теорема 3 (Теорема Блекуэлла). Для любого $h$

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(H{F}_1{F}_2\left(t+h\right)-H{F}_1{F}_2\left(t\right)\right)=\frac{h}{{\mu }_2},{\mu }_2<\infty$.

Теорема 4.

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(H{F}_1{F}_2\left(t\right)-\frac{t}{{\mu }_2}\right)=\frac{{\sigma }_2^2}{2{\mu }_2^2}-\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}+\frac{1}{2}. {\mu }_2<\infty$                                                                         (1)

Для рассмотренных выше процесса k-го порядка, периодического процесса k-го порядка и процесса порядка (k₁, k₂) сформулированные выше теоремы доказаны в [6; 9; 11].

Цель дальнейшего в доказательстве аналога указанных выше теорем для асимптотического поведении функции затрат S (t) процесса восстановления порядка (k₁, k₂) с учетом стоимости восстановлений.

Теоремы об асимптотическом поведении функции затрат S (t) процесса восстановления порядка (k₁, k₂) с учетом стоимости восстановлений

В дальнейшем, если F_i (t) = F_j (t), то и c_i = c_j что естественно для рассматриваемых моделей процессов восстановления.

Следуя [6–8], запишем интегральное уравнение для функции затрат S (t) рассматриваемого процесса восстановления:

$S\left(t\right)=G\left(t\right)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}S\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right),$                                                                                                   (2)

$G\left(t\right)=c_0\left(1-{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)\right)+\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)-\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{\int }_0^t{F}^{\left(n\right)}\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right), \text{при} k_1>\mathrm{1,}$                           

$G\left(t\right)=c_0\left(1-{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)\right)+\sum _{n=1}^{k_2}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)$, при k₁ =1.

${\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)=\left({\text{Φ}}_1{\text{*Φ}}_2\text{*}\mathrm{...}{\text{*Φ}}_{k_2}\right)\left(t\right)$ – свертка всех функций распределения случайных величин $Y_i=X_{k_1-1+i}$, задающих периодическую часть рассматриваемого процесса восстановления, ${\text{Φ}}_i\left(t\right)=F_{k_1-1+i}\left(t\right),i=\mathrm{1,2,}\dots ,k_2.$

Функция восстановления HFG (t) = F (t) общего процесса и функция восстановления  простого процесса связаны соотношением [4; 6]

$HFG\left(t\right)=F\left(t\right)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}HG\left(t-x\right)dF\left(x\right).$                                                                                                    (3)

В уравнении (2) сделаем замену:

$S\left(t\right)=V\left(t\right)+c_0.$                                                                                                                              (4)

Получаем

$V\left(t\right)+c_0=c_0\left(1-{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)\right)+\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)- \sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{\int }_0^t{F}^{\left(n\right)}\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(V\left(t-x\right)+c_0\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right).$

После сокращения

$V\left(t\right)=Q\left(t\right)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}V\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right),$                                                                                             (5)

$Q\left(t\right)= \sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)- \sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n{\int }_0^t{F}^{\left(n\right)}\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right)$, при k₁ > 1,                           

$Q\left(t\right)= \sum _{n=1}^{k_2}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)$, при k₁ =1.                                                   

Рассмотрим интегральное уравнение

$U\left(t\right)=f\left(t\right)+\underset{0}{\overset{\text{t}}{\int }}U\left(t-x\right)dg\left(x\right).$                                                                                               (6)

Если $f\left(t\right)=f_1\left(t\right)-f_2\left(t\right)$, то функция $U\left(t\right)=U_1\left(t\right)-U_2\left(t\right)$ является его решением, где функции $U_1\left(t\right),U_2\left(t\right)$ являются соответственно решениями интегральных уравнений

$U_1\left(t\right)=f_1\left(t\right)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{U}_1\left(t-x\right)dg\left(x\right),U_2\left(t\right)=f_2\left(t\right)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{U}_2\left(t-x\right)dg\left(x\right).$                         

Учитывая это, решение интегрального уравнения (6) ищем в виде

$V\left(t\right)=\left(\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)V_1\left(t\right)-\left(\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n\right)V_2\left(t\right).$                                                                                  (7)

Функции V₁ (t), V₂ (t)являются соответственно решениями интегральных уравнений

$V_1\left(t\right)=Q_1\left(t\right)+\underset{0}{\overset{t}{\int }} V_1\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right),V_2\left(t\right)=Q_2\left(t\right)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{V}_2\left(t-x\right)d{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right),$                              (8)

$Q_1\left(t\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}\left(t\right)}}{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}},Q_2\left(t\right)=\frac{\left(\left({\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n{F}^{\left(n\right)}}\right){\text{*Φ}}^{\left(k_2\right)}\right)\left(t\right)}{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n}}.$                 

Функции $Q_1\left(t\right),Q_2\left(t\right)$ по построению – функции распределения, так как они неубывающие ( $F^{\left(n\right)}\left(t\right)$– функции распределения), $Q_1\left(0\right)=Q_2\left(0\right)=0$${\text{lim}}_{t\to \infty }{Q}_1\left(t\right)={\text{lim}}_{t\to \infty }{Q}_2\left(t\right)=1.$

Теперь, принимая еще во внимание, что и функция ${\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)$ также является функцией распределения, в соответствии с (4), заключаем, что решением интегральных уравнений (8) являются функции восстановления общих процессов, задаваемых соответственно первыми функциями распределения  $Q_1\left(t\right),Q_2\left(t\right)$, вторыми и последующими ${\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)$.

Таким образом, 

$V_1\left(t\right)=H{Q}_1{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right),V_2\left(t\right)=H{Q}_2{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)$                                                                                 (9)

и с учетом (4), (7), (9)

$S\left(t\right)=V\left(t\right)+c_0=c_0+\left(\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)H{Q}_1{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)-\left(\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n\right)H{Q}_2{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right).$                                    (10)

Полагая в (10) c₀ = 0, c_i = 1, i ≥ 1, получаем новую формулу функции восстановления процесса порядка (k₁, k₂)

$H\left(t\right)=H{G}_1{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)-H{G}_2{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right),$                                                   

$G_1\left(t\right)= \sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{F}^{\left(n\right)}\left(t\right),G_2\left(t\right)=\sum _{n=1}^{k_1-1}\left(F^{\left(n\right)}{\text{*Φ}}^{\left(k_2\right)}\right)\left(t\right),$                                        

дополняющую ранее полученные формулы в [6; 12].

Полученное линейное представление (10) функции затрат S (t) процесса восстановления порядка (k₁, k₂) с учетом стоимости восстановлений через функции восстановления двух общих процессов восстановления дает возможность распространить выше указанные теоремы о асимптотическом поведении функции восстановления общего процесса восстановления на функцию затрат процесса восстановления порядка (k₁, k₂) с учетом стоимости восстановлений.

Обозначим

${\text{μ}}_X=E\left(\sum _{i=1}^{k_1-1}{X}_I\right)= \sum _{i=1}^{k_1-1}E\left(X_i\right),{\text{ μ}}_Y=E\left(\sum _{i=1}^{k_2}{Y}_i\right)=\sum _{i=1}^{k_2}E\left(Y_i\right)$,

${\text{σ}}_X=\sqrt{\sum _{i=1}^{k_1-1}{\text{σ}}^2\left(X_i\right)}, {\text{σ}}_Y=\sqrt{\sum _{i=1}^{k_2} {\text{σ}}^2\left(Y_i\right)}$ .

Теорема 1* (Элементарная теорема восстановления). Для любых начальных распределений $F_1\left(t\right),F_2\left(t\right),\dots ,F_{k_1-1}\left(t\right)$

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\frac{S\left(t\right)}{t}=\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\frac{c_0}{t}+\left(\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\frac{H{Q}_1{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)}{t}-\left(\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n\right)\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\frac{H{Q}_2{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)}{t}=$

$= \sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\frac{1}{{\mu }_Y}-\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n\frac{1}{{\mu }_Y}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}}{{\mu }_Y}.$

Здесь и далее учитываются выше указанные соответствующие теоремы для функции восстановления общего процесса, и что $n$– кратная свертка $F^{\left(n\right)}\left(t\right)$является функций распределения суммы рассматриваемых независимых случайных величин $X_i, i=\mathrm{1,2,}\dots n,$ а также что математическое ожидание $E\left(Y\right)$  случайной величины $Y$ с функцией распределения ${\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)$ определяется по формуле

$E\left(Y\right)=\sum _{i=1}^{k_2}E\left(Y_i\right)={\text{μ}}_Y.$                                                             

Теорема 2* (Основная теорема восстановления). Если функции распределения, задающие периодическую часть рассматриваемого процесса восстановления порядка (k₁, k₂), не являются решетчатыми, а  g (t) – интегрируемая на [0, ∞) невозрастающая функция, то

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}g\left(t-x\right)dS\left(x\right)=\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}g\left(t-x\right)d\left(c_0+\left(\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)H{Q}_1{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)-\left(\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n\right)H{Q}_2{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right)\right)=$

$=\underset{}{\overset{}{\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}}}{c}_n\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}g\left(t-x\right)H{Q}_1{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right)dx-\underset{}{\overset{}{\sum _{n=1}^{k_1-1}}}{c}_n\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}g\left(t-x\right)dH{Q}_2{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(x\right)d\left(x\right)=$

$=\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\frac{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }g\left(x\right)dx}}{{\mu }_Y}- \sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n\frac{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }g\left(x\right)d\text{x}}}{{\mu }_Y}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}}{{\mu }_Y}\underset{0}{\overset{\infty }{}}g\left(x\right)dx.$

Теорема 3* (Теорема Блекуэлла). Если функции распределения, задающие периодическую часть рассматриваемого процесса восстановления порядка (k₁, k₂), не является решетчатыми распределениями, то для любого h≥ 0

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(S\left(t+h\right)-S\left(t\right)\right)=$

$=\underset{t\to \infty }{\text{lim}}(\left(c_0+\left(\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)H{Q}_1{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t+h\right)-\left(\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n\right)H{Q}_2{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t+h\right)\right)-$

$-\left(c_0+\left(\sum _{}\underset{n=1}{\overset{k_1+k_2-1}{}}{c}_n\right)\left(H{Q}_1{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)-\left(\sum _{}\underset{n=1}{\overset{k_1-1}{}}{c}_n\right)H{Q}_1{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)\right)\right)=$

$=\left({\displaystyle \sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}}{c}_n\right)\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(H{Q}_1{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t+h\right)-H{Q}_1{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)\right)-$                                        

$- \left(\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)\underset{t\to \infty }{\text{lim}}(H{Q}_2{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t+h\right)-H{Q}_2{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)) =$                                         

$=\frac{\left({\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}\right)h}{{\mu }_Y}-\frac{\left({\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n}\right)h}{{\mu }_Y}=\frac{\left({\displaystyle {\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}\right)h}{{\mu }_Y}$                                          

при любых начальных распределений $F_1\left(t\right),F_2\left(t\right),\dots F_{k-1}\left(t\right).$

Теорема 4*. Пусть наработки $Y_i$ имеют конечные дисперсии и функции распределения Ф_i (t),задающие периодическую часть рассматриваемого процесса восстановления порядка (k₁, k₂), не являются решетчатыми распределениями. Тогда

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(S\left(t\right)-\left(\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)\frac{t}{{\mu }_Y}\right)=$                                                        

$=c_0+\frac{1}{2}\left(\frac{{\sigma }_Y^2}{{\mu }_Y^2}+1\right)\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n-\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\sum }_{j=1}^n{\mu }_j}}{{\mu }_Y}+\sum _{}_{n=1}^{k_1-1}{c}_n.$                                                            (11)

Доказательство. В соответствии с (1) запишем

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(H{Q}_1{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)-\frac{t}{{\mu }_Y}\right)=\frac{{\sigma }_Y^2}{2{\mu }_Y^2}-\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\sum }_{j=1}^n{\mu }_j}}{\left({\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}\right){\mu }_Y}+\frac{1}{2},$                                  

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(H{Q}_2{\text{Φ}}^{\left(k_2\right)}\left(t\right)-\frac{t}{{\mu }_Y}\right)=\frac{{\sigma }_Y^2}{2{\mu }_Y^2}-\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n\left({\sum }_{j=1}^n{\mu }_j+{\mu }_Y\right)}}{\left({\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n}\right){\mu }_Y}+\frac{1}{2}.$                              

Здесь учли, что для E (Z₁) и  E (Z₂) случайных величин  Z₁ и  Z₂ с функциями распределения соответственно Q₁(t)_, Q₂(t)

$E\left(Z_1\right)=\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\sum _{j=1}^n{\mu }_j, E\left(Z_2\right)=\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n\left(\sum _{j=1}^n{\mu }_j+{\mu }_Y\right).$

     Далее

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(\left({\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)V_1-\left({\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)\frac{t}{{\mu }_Y}\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\sigma }_Y^2}}{2{\mu }_Y^2}-\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\sum }_{j=1}^n{\mu }_j}}{{\mu }_Y}+\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}}{2},$

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(\left({\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n\right)V_2\left(t\right)-\left({\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n\right)\frac{t}{{\mu }_Y}\right)=\frac{\left({\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n}\right){\sigma }_Y^2}{2{\mu }_Y^2}-\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n{\sum }_{j=1}^n{\mu }_j}}{{\mu }_Y}-\underset{n=1}{\overset{k_1-1}{}}{c}_n+\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n}}{2}=$ 

Отсюда

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(c_0+\left(\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)V_1-\left(\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n\right)V_2\left(t\right)-\left(\sum _{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)\frac{t}{{\mu }_Y}+\left(\sum _{n=1}^{k_1-1}{c}_n\right)\frac{t}{{\mu }_Y}\right)=$

$=c_0+\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\sigma }_Y^2}}{2{\mu }_Y^2}-\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\sum }_{j=1}^n{\mu }_j}}{{\mu }_Y}+\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}}{2}-$

$-\frac{\left({\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n}\right){\sigma }_Y^2}{2{\mu }_Y^2}+\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n{\sum }_{j=1}^n{\mu }_j}}{{\mu }_Y}+\underset{n=1}{\overset{k_1-1}{}}{c}_n-\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{k_1-1}{c}_n}}{2}=$

$=c_0+{\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\frac{{\sigma }_Y^2}{2{\mu }_Y^2}-\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\sum }_{j=1}^n{\mu }_j}}{{\mu }_Y}+\underset{n=1}{\overset{k_1-1}{}}{c}_n+\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}}{2}$.

С учетом (10) получаем формулу (11) асимптотического поведении функции затрат S (t) процесса восстановления порядка (k₁, k₂) с учетом стоимости восстановлений.

Если в формуле (11) положить c₀ = 0, c_i = 1, i = 1,2,...., то получим асимптотическое поведении функции H (t) процесса восстановления порядка (k₁, k₂) [6; 12]

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(H\left(t\right)-\frac{k_2}{{\text{μ}}_Y}t\right)=k_1-\frac{k_2}{2}-2+\frac{k_2{\text{σ}}_Y^2}{2{\text{μ}}_Y^2}-k_2\frac{{\text{μ}}_X}{{\text{μ}}_Y}+\frac{1}{{\text{μ}}_Y} \sum _{i=1}^{k_2}iE\left(Y_i\right).$

Рассмотрим процесс восстановления с учетом стоимости восстановления, когда в процессе восстановления происходят полные восстановления (F_i (t) = F₁ (t),  при отказе элемента он заменяется на элемент с той же функцией распределения F₁ (t), что и отказавший), но изменяются стоимости заменяемых элементов при отказах, c_i = c_j при i ≡ j (mod k₂), i, j ≥ k₁. Отметим, что этот случай характерен при эксплуатации.

Для этого случая из (11) следует

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(S\left(t\right)-\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}}{k_2{\mu }_1}t\right)=c_0+\frac{1}{2}\left(\frac{{\sigma }_1^2}{{\text{μ}}_1^2}+1\right){\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n-\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}n{c}_n}}{k_2}+\sum _{}_{i=1}^{k_1-1}{c}_i.$

Альтернирущий процесс восстановления порядка (k₁, k₂)

В теории надежности при определении процесса восстановления предполагается, что восстановление производится за пренебрежимое время по сравнению со временем работы элемента до очередного отказа, т. е. мгновенно. На практике это часто не выполняется. Поэтому наряду со временем безотказной работы, не менее важным может иметь время простоя, время выяснения причин отказа, время самого восстановления. Здесь также, наряду с еще другими характеристиками, важное значение при эксплуатации имеет стоимость восстановления.

Пусть последовательности m (X_n), (Y_n) образуют два простых процесса восстановления с функциями распределения F (t), G (t) соответственно. Последовательность (X_n, Y_n) называется простым альтернатирующим процессом восстановления [3; 4; 6].

Пусть Y_n – время восстановления после n - го отказа, X_n– время наработки элемента после (n-1) -го восстановления. Промежутки между очередными отказами (с учетом времени восстановления) образуют общий процесс восстановления с первой функцией распределения F (t), второй (F*G) (t) . Промежутки между очередными восстановлениями образуют простой процесс восстановления с функцией распределения (F*G) (t) [4; 6].

В соответствии с рассмотренными выше моделями процессов восстановления рассмотрим альтернатирующий процесс восстановления (X_n, Y_n) порядка (k₁, k₂), в котором последовательности (X_n), (Y_n) образуют процессы восстановления порядка (k₁, k₂) с функциями распределения F_n (t) и G_n (t) [6].  При k_{1 =} k₂ = 1 имеем простой альтернатирующий процесс восстановления.

Если рассматривать введенный альтернатирующий процесс как последовательность X₁, Y₁, X₂, Y₂,...X_n, Y_n ..., то приходим к процессу восстановления порядка (2k₁ - 1,2k₂).

Промежутки между очередными отказами (с учетом времени восстановления) образуют процесс восстановления порядка (2k₁ + 1,k₂) c функциями распределения

$F_1\left(t\right),\left(G_1\text{*}{F}_2\right)\left(t\right),\dots ,\left(G_{n-1}\text{*}{F}_n\right)\left(t\right),\dots$ ,

а промежутки между очередными восстановлениями образуют процесс восстановления порядка (k₁, k₂) с функциями распределения [6]

$\left(F_n\text{*}{G}_n\right)\left(t\right).$

Пусть c_n– стоимость n-го восстановления. Сюда, кроме стоимости самого восстановления, могут включаться убытки, штрафы при отказе, простое. Последовательность

$\left(X_0,c_0\right),\left(X_1,Y_{\mathrm{1,}},c_1\right),\dots \left(X_n,Y_n,c_n\right),\dots$

назовем альтернирующим процессом восстановления с учетом стоимости восстановлений.

Если последовательность (X_n, Y_n) – альтернатирующий процесс восстановления порядка (k₁, k₂) и c_i = c_j если F_i (t) = F_j (t), то имеем альтернатирующий процесс восстановления порядка (k₁, k₂) с учетом стоимости восстановлений [6]. Далее предполагается, что стоимость каждого восстановления фиксируется в момент окончания восстановления. Можно рассматривать и другие подходы, например, когда стоимость восстановлений фиксируется в моменты отказов.

Обозначим через Z_n случайное время окончания восстановления после n -го отказа. Тогда $Z_n=X_n+\text{Y}\_\text{n}$ и ${\text{ Ψ}}_n\left(t\right)=\left(F_n\text{*}{G}_n\right)\left(t\right)$– функция распределения случайной величины Z_n.

Отметим еще раз, что пледовательность Z_n определяет процесс восстановления порядка (k₁, k₂), и тем самым для вычисления функции затрат S (t) (средней стоимости восстановлений) рассматриваемого альтернирующего процесса мы переходим просто к процессу восстановления (Z_n, c_n) порядка (k₁, k₂) с учетом стоимости восстановлений. После чего, в соответствие с теоремами 1*–4*, можно выписать формулы асимптотического поведения функции затрат введенного альтернирующего процесса восстановления порядка (k₁, k₂).

Выпишем эти формулы:

$S\left(t\right)=c_0+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{\text{Ψ}}^{\left(n\right)}\left(t\right)$,

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\frac{S\left(t\right)}{t}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}}{{\mu }_p}$,

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}g\left(t-x\right)dS\left(x\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}}{{\mu }_p}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}g\left(x\right)dx$,

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(S\left(t+h\right)-S\left(t\right)\right)=\frac{\left({\displaystyle {\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n}\right)h}{{\mu }_p}$,

$\underset{t\to \infty }{\text{lim}}\left(S\left(t\right)-\left({\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n\right)\frac{t}{{\mu }_p}\right)=$

$=c_0+\frac{1}{2}\left(\frac{{\sigma }_p^2}{{\mu }_p^2}+1\right){\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n-\frac{{\displaystyle {\sum }_{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{c}_n{\sum }_{j=1}^n{\mu }_j}}{{\mu }_p}+{\sum }_{n=k_1}^{k_1-1}{c}_n,$

где

${\mu }_n=E\left(X_n\right)+E\left(Y_n\right),{\mu }_p=\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}{\mu }_n,{\sigma }_p=\sqrt{\sum _{n=k_1}^{k_1+k_2-1}\left({\sigma }^2\left(X_n\right)+{\sigma }^2\left(Y_n\right)\right)}$.

Заключение

Многие важнейшие показатели работы технических, информационно вычислительных и многих других систем имеют случайный характер. Так, наряду со случайной величиной числа отказов, важной характеристикой в таких системах при проведении процессов восстановлкения (собенно в оптимизационных задачах по выбору стратегии восстановления) является стоимость восстановлений от начала эксплуатации до произвольного момента времени t.

В связи с этим в работе рассматривается расширение процесса восстановления на процесс восстановления с учетом стоимости восстановлений.

Для моделей процесса восстановления с изменяющимися стоимостями восстановлений и функциями распределения наработок получена формула линейно связывающая среднюю стоимость восстановлений (функцию затрат) с функциями восстановления двух хорошо изученных в теории вероятностей и математической теории надежности общих процессов восстановления.

Это дало возможность в рамках математической теории надежности простого переноса известных теорем об асимптотическом поведении при $t\to \infty$ функции восстановления (среднего числа отказов) на функцию затрат в рассматриваемых моделях (с изменяющимися стоимостями восстановлений и функциями распределения наработок) процессов восстановления с учетом стоимости восстановлений.

Полученные теоремы обобщены на альтернирующий процесс восстановления с учетом стоимости восстановлений, когда еще учитывается случайное время проведения восстановлений.

Отметим, что полученные асимптотические формулы найдут применение в математической и эксплуатационной надежности ракетно-космической техники, электронно-вычислительных систем, систем электроснабжения, теплоснабжения, транспортных систем и многих других технических систем [14].

Еще отметим, что наряду с полученными формулами асимптотического поведения средней стоимости восстановлений будут важны и предельные теоремы для стоимости восстановлений (как случайной величины), аналогичные для числа отказов, полученные в [6; 9; 13; 15], а также нахождение дисперсии стоимости восстановлений в рассматриваемых моделях [16].

作者简介

Vitaly Vainshtein

Siberian Federal University

编辑信件的主要联系方式.
Email: vvaynshtyayn@sfu-kras.ru

Cand. Sc., associate professor, head of the scientific and educational laboratory of information security

俄罗斯联邦, 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041

Isaak Vainshtein

Siberian Federal University

Email: isvain@mail.ru

Cand. Sc., associate professor, Department of Applied Mathematics and Computer Security

俄罗斯联邦, 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041

Konstantin Safonov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology

Email: safonovkv@rambler.ru

Dr. Sc., Professor, Head of the Department of Applied Mathematics

俄罗斯联邦, 31, Krasnoyarskii rabochii prospekt, Krasnoyarsk, 660037

参考

补充文件