ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ МОДЕЛИ ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ СЕТИ

Полный текст

Введение. В научной и отраслевой литературе предлагаются различные подходы к построению моделей гидравлических сетей [1; 2]. Многочислен- ные работы, такие как [3], посвящены методологии построения динамических моделей процессов, происc11x1 +K+ c1nxn = q1, L ck -1,1x1 +K+ ck -1,n xn = qk -1, c s x b1 -1 x +K+ c s x bn -1 x = h , (1) ходящих в гидравлических сетях. Зачастую, речь идет о моделях, основанных на привлечении законов гидk1 1 1 1 L kn n n n 1 родинамики, выраженных в системах уравнений c s x b1 -1 x +K+ c s x bn -1 x = h , в частных производных для описания распределенных n1 1 1 1 nn n n n n-k +1 систем. Подход, который используется в таких рабо- тах, требует исчерпывающей информации о физичегде n - количество участков в графе сети; k - количе- ство узлов; xj, j = 1, 2,K, n, - расход по j-й трубе; ских характеристиках перекачиваемой жидкости, qi, i = 1, 2,K, k -1, - приток в узле; sj, j = 1, 2,K, n, - характере ее течения, внутреннем профиле и геомет- рической конфигурации трубопровода, исчерпывающей информации о функционировании насосных агрега- тов. Во множестве случаев такие модели сложны в вычислительном плане, требуют учета неизвестных, часто неизмеримых или непредсказуемо меняющихся во времени и в пространстве параметров. Известны также исследования в области построения имитаци- онных моделей процессов в трубопроводах, в которых недостаток априорных сведений преодолевается самим способом построения моделей совместно с уп- рощением их структуры [4]. Функционирование современных трубопроводных систем сопровождается сбором данных о технологи- ческих параметрах, таких как массовый или объем- ный расход, дифференциальный напор, давление. Измерение параметров требуется для функциониро- вания средств автоматизированного управления, в частности, диспетчерского контроля. При этом на- дежность и эффективность управления технологиче- ским процессом трубопроводного транспорта нефти и газа напрямую зависит от качества и точности ма- тематических моделей технологических процессов, являющихся основной и неотъемлемой частью авто- матизированных систем управления. Построение ма- тематических моделей рассматривается в терминах теории идентификации [5]. Один из основных подходов к построению моде- лей трубопроводных систем основывается на пред- ставлении структуры гидравлической системы в виде плоского связного орграфа с определенным набором вершин (узлов), ребер (ветвей) и граней (контуров) и позволяет решать задачи стационарного потокорас- пределения. Модель в рамках такого подхода пред- ставляет собой большую систему нелинейных урав- нений, составленную в соответствии с законами Кирхгофа для трубопроводной сети [6; 7]: гидравлическое сопротивление соответствующей трубы; hi, i = 1, 2,K, n - k + 1, - сумма действующих напоров с учетом знака по всем дугам i-го контура; b - коэффициент в законе зависимости величины падения напора от значения расхода; cij = {-1, 0, +1} определяется по первому или второму закону Кирх- гофа. Для второго закона Кирхгофа и для нелинейных уравнений cij = {-1, +1} (в зависимости от направления обхода), если j-й участок входит в цикл, соответ- ствующий i-му нелинейному уравнению, либо cij = 0 . Система уравнений (1) имеет единственное решение [8]. Построение модели (1) связано с решением двух задач: 1) нахождение неизвестных значений расходов сети при заданных значениях активных напоров (пря- мая задача); 2) настройка параметров гидравлического сопро- тивления - идентификация параметров гидравличе- ского сопротивления (обратная задача). По модели (1) на предприятиях, эксплуатирующих трубопроводные сети, производится расчет некоторо- го множества возможных технологических режимов работы сети, которые с той или иной вероятностью могут быть реализованы. По результатам моделиро- вания вычисляются значения расходов каждой из труб и значения активных напоров сети, необходимых для обеспечения заданного отбора в узлах. Такой подход позволяет производить управление режимами работы сети. Основным алгоритмом решения системы уравне- ний (1), применяемым на практике, является модифи- цированный метод последовательных приближений [9]. Данный алгоритм является модификацией метода Ньютона с более высоким показателем скорости сходимости при достаточно произвольном выборе начального приближения. При этом точность решения прямой задачи в зна- чительной степени зависит от точности известных 3. Оценка решения системы уравнений на m-м шаге: m l æ 0 -e [t] ö значений параметров гидравлического сопротивле- å x j [t]Õ Ф çç j ÷÷ ния. Если значения параметров известны неточно, то решение может быть далеким от действительности. t =1 x j (m) = m l j =1 è c j æ 0 -e [t] ö ø , j = 1, l, (4) В настоящий момент для решения задачи идентифи- кации параметров гидравлического сопротивления применяется метод наименьших квадратов, либо задача сводится к эквивалентной задаче линейного программирования [10]. Применение метода наи- меньших квадратов к системе (1) для идентификации параметров гидравлического сопротивления приводит к переопределенной системе нелинейных уравнений. Решение такой системы уравнений относится к классу некорректных задач, так как полученная система может и не иметь решений. На практике установлено, что такой подход позволя- ет производить настройку параметров гидравлического сопротивления только в случае небольших размерно- стей (для сетей с количеством участков не более 200). Для сетей больших размерностей не всегда удается получить решение с приемлемой точностью для всех коэффициентов гидравлического сопротивления [11]. Кроме того, на практике в каналах связи и регистри- рующей аппаратуре присутствуют случайные помехи аддитивного и мультипликативного типа. Примене- ние метода наименьших квадратов, в случае наличия помех и выбросов в выборках измерений, приводит к снижению качества идентификации, что свойственно данному классу методов [12]. В связи с этим разработка алгоритмов идентифи- кации параметров гидравлического сопротивления, обеспечивающих необходимою точность и помехо- устойчивость, является актуальной задачей. В на- стоящей статье в качестве подхода к идентификации параметров гидравлического сопротивления предлага- ется использовать модификацию алгоритма Кифера- Вольфовица [13] в приложении к идентификации многосвязных систем [14; 15]. Идентификация пара- метров производится с одновременной оценкой реше- ния системы уравнений (1). Алгоритм идентификации параметров гидрав- лического сопротивления с одновременной оцен- кой решения. В качестве алгоритма идентификации предлагается использовать алгоритм, основанный на алгоритме Кифера-Вольфовица [13]. В качестве метода решения системы уравнений в алгоритме используется метод генерации решений [14]. Введем следующие обозначения: g - коэффициент, удовлетворяющий условиям Роббинса-Монро [16]; åÕФ ç j ÷ ç ÷ t =1 j =1 è c j ø где ядерная функция Ф(·) и параметры размытости сj, j =1, 2, K, l, удовлетворяют условиям сходимости [12]. 4. Проверка критерия остановки: если < d1 или Подпись: l å (x j (m) - x j (m -1))2 < d2 , j =1 то алгоритм останавливается, иначе m = m + 1 и пере- ход на первый пункт. Здесь δ1 и d2 - некоторые заданные положительные значения. Исходная трубопроводная сеть, генерация обучающей выборки. Рассмотрим применение пред- ложенного подхода на примере трехкольцевой трубо- проводной сети, изображенной на рис. 1 [17]. На рис. 1 стрелки в контурах отвечают выбранным направлениям обхода. В цепи имеется одна активная ветвь с действующим напором H. Жирными линями обозначены дуги дерева, тонкими - хорды. Номера дуг заданы таким образом, что первые номера полу- чили дуги дерева, а оставшиеся - хорды. Число дуг n = 10, узлов k = 8, размерность системы l = 10. Все трубы, кроме шестой и седьмой, стальные и удовлетворяют квадратичному закону гидравличе- ского сопротивления, шестая и седьмая - пластмассо- вые, для них β = 1,774. Величина напора h = 8,3. Система уравнений для такой сети, составленная в соответствии законами Кирхгофа для трубопроводной сети и моделью распределения потоков в виде h = sxb (параметризованная система), примет следующий вид: - x1 + x8 = -89, x1 + x2 - x4 = 16, 5, - x2 + x5 = 19, 2, - x5 + x9 = 23,1, - x3 + x4 + x7 - x9 = 0, - x7 + x10 = 17, 4, l - размерность системы; fi, i = 1, l - i-е уравнение сис- темы; V = {h[t], x[t]}, t = 1, N , - обучающая выборка. x6 - x10 = 12,8, 0, 00147 x1 x1 + 0, 00431 x3 x3 + (5) Алгоритм выглядит следующим образом: + 0, 00174 x 0,774 x + 0, 00174 x 0,774 x = h, 1. Оценка параметров системы на m-м шаге: 4 4 8 8 s [m] = s [m -1] - g(i)[m] × f ( (i ) (i ) ( j ) - , 0, 0023 x x + 0, 00174 x 0,774 x + j j j i h [m], x [m],s [m 1]) 2 2 4 4 (2) + 0, 00522 x x + 0, 00174 x x = 0, j = 1, l, 2. Вычисление невязок системы на m-м шаге: e j [m] = f j (h( j )[m], x( j )[m],s( j )[m]), j = 1, l. (3) 5 5 9 9 0, 00431 x3 x3 + 0, 00514 x6 x6 + + 0, 00514 x7 x7 + 0, 00522 x10 x10 = 0. Рис. 1. Схема трехкольцевой трубопроводной сети Fig. 1. Layout of three-loop pipeline network В качестве входных воздействий (активного напо- ра h) определим h%[t] = h × (1+ 2 × p × (m[t] - q)), t = 1, N , где p - разброс выборочных значений от начального состояния; m[t], t = 1, N , - последовательность слу- чайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [0, 1]; q - параметр сдвига. Преобразуем выборочные значения по формуле h[t] = h%[t]× (1+ 2 × s × (r[t] - q)), t = 1, N , где s - шум на объекте; r[t], t = 1, N , - последовательность случайных чисел, равномерно распреде- ленных на отрезке [0, 1] . Генерацию выборочных значений выхода (расходов) x[t] = ( x1[t], ..., xl[t]) при заданном входе h[t] осуществим в ходе решения системы (5) методом Ньютона. Таким образом, в качестве исходной обучающей выборки вектора состояний трубопроводной сети примем выборку {h[t], x[t]}, t = 1, N . - параметр сдвига q = 0,5; - объем обучающих выборок N Î{25, 50, 100}; - коэффициент γ = 1 m , где m - шаг. 1 Численное исследование алгоритма идентифика- ции с одновременной оценкой параметров для разно- го уровня шума в зависимости от такта идентифика- ции m приведено ниже. Так как графики оценки параметров схожи, то приведены графики оценки параметра лишь для одного (первого) параметра гид- равлического сопротивления s1 (рис. 2-4). На графи- ках s * обозначает истинное значение параметра гидравлического сопротивления s1. В соответствии с рис. 2-4 можно сделать вывод, что найденные оценки параметра s1 стремятся к своим истинным значениям и, начиная с пятого шага, прак- тически остаются на одном уровне. Наблюдается достаточно высокая помехоустойчивость алгоритма оценки параметров. В качестве критерия качества оценки решения использовался следующий критерий (евклидовая нор- ма отклонения найденного решения от истинного): l Результаты идентификации. Численное исследо- вание алгоритма проведем при следующих параметрах: - начальное значение активного напора h = 8,3; W = å j =1 где x j - оценка решения; xr , - истинное решение. - разброс выборки от начального состояния p = = 25 %; - уровень шума s Î{5 %, 10 %, 25 %}; Результаты оценки решения представлены в таб- лице, где приведена ошибка идентификации W для разного объема выборки N и уровня шума S в каналах измерения. 496 Рис. 2. Оценка параметра гидравлического сопротивления s1 при S = 5 % Fig. 2. Hydraulic resistance estimate s1 vs. iteration for noise amplitude S = 5 % Рис. 3. Оценка параметра гидравлического сопротивления s1 при S = 10 % Fig. 3. Hydraulic resistance estimate s1 vs. iteration for noise amplitude S = 10 % S = 5 % N 25 50 100 W 0,09636 0,07330 0,05282 S = 10 % N 25 50 100 W 0,17085 0,13315 0,08306 S = 25 % N 25 50 100 W 0,34195 0,29205 0,22395 Рис. 4. Оценка параметра гидравлического сопротивления s1 при S = 25 % Fig. 4. Hydraulic resistance estimate s1 vs. iteration for noise amplitude S = 25 % Результаты расчета критерия качества оценки решения С увеличением объема обучающей выборки точ- ность оценки решения увеличивается, что свидетель- ствует о сходимости алгоритма. Наличие помехи в каналах измерения негативно сказывается на работе соответствующих оценок. В целом по ряду экспериментов была установлена достаточно высокая точность при относительно небольших объемах обучающих выборок и устойчи- вость к шуму, вплоть до достаточно больших значе- ний помехи. Заключение. Рассмотрен подход к идентифика- ции параметров гидравлического сопротивления с одновременной оценкой решения системы уравнений для гидравлической сети. Применение предложенного подхода позволит избежать трудностей, связанных с применением метода наименьших квадратов: пере- определенность системы уравнений, чувствитель- ность к выбросам. Рассмотренная процедура иденти- фикации параметров гидравлического сопротивления обеспечивает высокую помехоустойчивость, прием- лемую скорость и точность идентификации. Планируется, что дальнейшие исследования будут включать анализ данных и построение модели реаль- ной функционирующей гидравлической сети.

Об авторах

Н. Р. Антропов

Сибирский федеральный университет

Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79

Е. Д. Агафонов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: agafonov@gmx.de
Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Список литературы

Дополнительные файлы