Model of deformation of concrete based on flow plasticity theory for analysis of durability of plain concrete and reinforced concrete bridge constractions

Full Text

Введение

Срок службы конструкций транспортных сооружений определяется нагрузками, изменчивостью прочностных и деформативных параметров материалов под воздействием агрессивных факторов окружающей среды, конструкционными особенностями сооружения.

Под воздействием окружающей среды меняются прочностные и деформативные характеристики бетона и арматуры, за счет разрушения бетона продуктами коррозии арматуры сокращается рабочая площадь сечения. В результате этих процессов изменяется жесткость сечений, образуются трещины в бетоне, что приводит к перераспределению усилий как между сечениями конструкции (особенно статически неопределимых), так и между бетоном и арматурой в пределах одного сечения, изменяется несущая способность сооружения в целом.

Нагружение в зонах ослаблений становится непропорциональным даже при внешне монотонно изменяющейся нагрузке. Теория пластического течения позволяет с единых позиций учитывать такой характер нагружения отдельных зон конструкций, как при монотонном возрастании, так и при повторно-переменных воздействиях внешней нагрузки [1, 2, 5]. Это позволяет эффективно моделировать перераспределение усилий в конструкциях при нелинейном численном анализе методом конечных элементов.

В настоящее время существуют предложения по установлению зависимостей между параметрами диаграммы деформирования бетона, прочностью материалов, величиной сцепления арматуры с бетоном и т.д. и временем воздействия агрессивных факторов внешней среды [13-15]. Эти зависимости после преобразований для соответствия теории пластического течения бетона могут быть использованы для оценки технического состояния эксплуатируемых транспортных сооружений и установления долговечности конструкций.

Одним из критериев долговечности сооружения является время до исчерпания несущей способности, определяемое с учетом развития деградационных процессов в материале конструкций [3, 4]. При этом, несмотря на вероятностный характер исходных данных, определение несущей способности целесообразно выполнять в детерминированной форме.

Цель

Совершенствование математических подходов к оценке долговечности железобетонных конструкций, одним из которых является разработка модели нелинейного деформирования бетона на основе пластического течения для расчетов несущей способности бетонных и железобетонных конструкций мостов с учетом изменчивости свойств материалов под воздействием факторов времени и агрессивности внешней среды.

Метод

Теоретической основой для разработки модели является теория пластического течения.

Гипотезы [6, 9]

1. Приращение полных деформаций:

$d{\epsilon }_{ij}=d{\epsilon }_{ij}^e+d{\epsilon }_{ij}^p,$(1)

где $d{\epsilon }_{ij}^e$ – приращения упругих деформаций; $d{\epsilon }_{ij}^p$ – приращения пластических деформаций.

2. Приращение упругих напряжений:

$d{\sigma }_{ij}^e=D_{ijkl}^{e}d{\epsilon }_{kl},$ (2)

где $D_{ijkl}^e$ – матрица упругости.

3. Вектор пластических деформаций ортогонален поверхности пластического потенциала:

$d{\epsilon }_{ij}^p=d\lambda \frac{\partial G}{\partial {\sigma }_{ij}},$ (3)

где dl – пластический множитель; G (s_ij, e^p) – функция пластического потенциала.

4. Поверхность нагружения состоит из двух независимых поверхностей: $f_1\left({\sigma }_{ij},{\epsilon }_{ij}^p\right)=0$, учитывающей процессы нелинейного увеличения объема бетона при сжатии, и $f_2\left({\sigma }_{ij},{\epsilon }_{ij}^p\right)=0$, отражающей процесс необратимой сжимаемости материала.

Полная величина пластической деформации определяется как [8]:

$d{\epsilon }_{ij}^p=d{\epsilon }_{ij}^{p\left(1\right)}+d{\epsilon }_{ij}^{p\left(2\right)},$ (4)

где

$d{\epsilon }_{ij}^{p\left(1\right)}=d{\lambda }_1\frac{\partial g_1}{\partial {\sigma }_{ij}};d{\epsilon }_{ij}^{p\left(2\right)}=d{\lambda }_2\frac{\partial g_2}{\partial {\sigma }_{ij}},$ (5)

$d{\lambda }_k$, $g_k\left({\sigma }_{ij},{\epsilon }_{ij}^p\right)$ – пластические множители и пластические потенциалы соответствующих поверхностей нагружения.

5. Механизмы упрочнения поверхностей не зависят друг от друга [10].

Основные соотношения модели

Стадия пластического (нелинейного) деформирования определяется как [7, 11, 12]:

$d{\sigma }_{ij}\frac{\partial f_{\alpha }}{\partial {\sigma }_0}\ge 0;d{\sigma }_{ij}\frac{\partial f_{\beta }}{\partial {\sigma }_0}\le 0,\alpha \ne \beta ,\alpha ,\beta =1,2.$ (6)

В моделях с составными поверхностями это условие записывается в виде:

$\left.\begin{array}{c}d{f}_1=\frac{\partial f_1}{\partial {\sigma }_{ij}}d{\sigma }_{ij}+\frac{\partial f_1}{\partial {\epsilon }_{kl}^p}d{\epsilon }_{kl}^p=0;\\ d{f}_2=\frac{\partial f_2}{\partial {\sigma }_{ij}}d{\sigma }_{ij}+\frac{\partial f_2}{\partial {\epsilon }_{kl}^p}d{\epsilon }_{kl}^p=0.\end{array}\right\}$ (7)

Принимая

$d{\sigma }_{ij}=D_{ijkl}^e\left(d{\epsilon }_{kl}-d{\epsilon }_{kl}^p\right),$ (8)

где $D_{ijkl}^e$ — матрица упругости,

получим

$\left.\begin{array}{c}\frac{\partial f_1}{\partial {\sigma }_{ij}}{D}_{ijkl}^{e}d{\epsilon }_{kl}-d{\lambda }_1{R}_{11}-d{\lambda }_2{R}_{12}=0;\\ \frac{\partial f_2}{\partial {\sigma }_{ij}}{D}_{ijkl}^{e}d{\epsilon }_{kl}-d{\lambda }_1{R}_{21}-d{\lambda }_2{R}_{22}=0,\end{array}\right\}$ (9)

где

$R_{\alpha \beta }=\frac{\partial f_{\alpha }}{\partial {\sigma }_{rs}}{D}_{rstu}^e\frac{\partial g_{\beta }}{\partial {\sigma }_{rs}}-B_{\alpha \beta },\alpha ,\beta =1,2.$ (10)

Согласно гипотезе 5 B₁₂ = B₂₁ = 0. Отсюда

$\left.\begin{array}{c}d{\lambda }_1=\frac{1}{\det }\left(\frac{\partial f_1}{\partial {\sigma }_{ij}}{R}_{22}-\frac{\partial f_2}{\partial {\sigma }_{ij}}{R}_{12}\right)d{\sigma }_{ij}^e;\\ d{\lambda }_2=\frac{1}{\det }\left(\frac{\partial f_2}{\partial {\sigma }_{ij}}{R}_{11}-\frac{\partial f_1}{\partial {\sigma }_{ij}}{R}_{21}\right)d{\sigma }_{ij}^e,\end{array}\right\}$ (11)

где $d{\sigma }_{ij}^e$ вычисляются по формуле (2); $\det =R_{11}{R}_{22}-R_{21}{R}_{12}$,$B_{\alpha \alpha }=-h_{\alpha }\sqrt{\frac{\partial g_{\alpha }}{\partial {\sigma }_{kl}}\frac{\partial g_{\alpha }}{\partial {\sigma }_{kl}}},\alpha =1,2,$ h_a – эмпирические параметры упрочнения.

После ряда преобразований [1] представим выражение для матрицы  как

$\begin{array}{c}{D}_{ijkl}^{ep}=D_{ijkl}^e-\\ \frac{1}{\det }\sum _{\alpha =1}^2{D}_{ijmn}^e\frac{\partial g_{\alpha }}{\partial {\sigma }_{mn}}\left(\frac{\partial f_{\alpha }}{\partial {\sigma }_{rs}}{R}_{\beta \beta }-\frac{\partial f_{\beta }}{\partial {\sigma }_{rs}}{R}_{\alpha \beta }\right)D_{rskl}^e,\\ \alpha \ne \beta ,\alpha ,\beta =1,2.\end{array}$(12)

Для симметризации матрицы (12) вводим поверхность текучести эквивалентного материала F:

$F_{\alpha }\left({\sigma }_{ij},{\epsilon }_{ij}^p\right)=g_{\alpha }\left({\sigma }_{ij},{\epsilon }_{ij}^p\right)+{\Phi }_{\alpha }\left({\epsilon }_{ij}^p\right)=0,\alpha =1,2.$ (15)

где $\Phi \left({\epsilon }_{ij}^p\right)$ – корректирующая функция

Используя (15) получим, как показано в [1] окончательное выражение для симметричной матрицы запишем в виде

$\begin{array}{c}{D}_{ijkl}^{ep}=D_{ijkl}^e-\\ -\frac{1}{\det }\sum _{\alpha =1}^2{D}_{ijmn}^e\frac{\partial g_{\alpha }}{\partial {\sigma }_{mn}}\left(\frac{\partial g_{\alpha }}{\partial {\sigma }_{rs}}{R^{\text{'}}}_{\beta \beta }-\frac{\partial g_{\beta }}{\partial {\sigma }_{rs}}{R^{\text{'}}}_{\alpha \beta }\right)D_{rskl}^e,\\ \det ={R^{\text{'}}}_{11}{R^{\text{'}}}_{22}-{R^{\text{'}}}_{12}{R}^{\text{'}}{}_{21},\alpha \ne \beta ,\alpha ,\beta =1,2.\end{array}$ (16)

В (19) обозначено:

$=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial g_1}{\partial {\sigma }_{rs}}{D}_{rstu}^e\frac{\partial g_1}{\partial {\sigma }_{tu}}-H_{11}& \frac{\partial g_1}{\partial {\sigma }_{rs}}{D}_{rstu}^e\frac{\partial g_2}{\partial {\sigma }_{tu}}\\ \frac{\partial g_2}{\partial {\sigma }_{rs}}{D}_{rstu}^e\frac{\partial g_1}{\partial {\sigma }_{tu}}& \frac{\partial g_2}{\partial {\sigma }_{rs}}{D}_{rstu}^e\frac{\partial g_2}{\partial {\sigma }_{tu}}-H_{22}\end{array}\right|;$ (17)

$\left.\begin{array}{c}\begin{array}{l}{H}_{11}=\frac{\partial g_1}{\partial {\sigma }_{rs}}{D}_{rstu}^e\frac{\partial g_1}{\partial {\sigma }_{tu}}-\\ -\frac{1}{d{\lambda }_1}\left[\frac{\partial g_1}{\partial {\sigma }_{ij}}d{\sigma }_{ij}^e-\frac{\partial g_1}{\partial {\sigma }_{rs}}{D}_{rstu}^e\frac{\partial g_2}{\partial {\sigma }_{tu}}d{\lambda }_2\right]\end{array}\\ \begin{array}{l}{H}_{22}=\frac{\partial g_2}{\partial {\sigma }_{rs}}{D}_{rstu}^e\frac{\partial g_2}{\partial {\sigma }_{tu}}-\\ -\frac{1}{d{\lambda }_2}\left[\frac{\partial g_2}{\partial {\sigma }_{ij}}d{\sigma }_{ij}^e-\frac{\partial g_2}{\partial {\sigma }_{rs}}{D}_{rstu}^e\frac{\partial g_1}{\partial {\sigma }_{tu}}d{\lambda }_1\right]\end{array}\end{array}\right\}.$ (18)

Величины пластических множителей dl_a в (18) определяются согласно (11).

Поверхности нагружения и пластического потенциала

Будем рассматривать модель нелинейного деформирования бетона с изотропным упрочнением. Все мгновенные (промежуточные) поверхности нагружения на всех этапах нагружения сохраняют подобие друг другу и предельной поверхности (поверхности прочности).

Первую поверхность нагружения примем в виде поверхности прочности [1]:

$f_1\left(I_1\left(T_{\sigma }\right),J_2\left(D_{\sigma }\right),J_3\left(D_{\sigma }\right),m_c\right)=0,$  (19)

где I₁(Т_s) – первый инвариант тензора напряжений; J₂(D_s), J₃(D_s) – второй и третий инварианты девиатора напряжений; m_c – показатель упрочнения материала.

При m_c = 1 функция (19) определяет предельную поверхность нагружения, при m_c = m₀ – начальную поверхность.

Примем мгновенную поверхность нагружения в виде

${\overline{\tau }}_0^2+a_1{\overline{J}}_3\left(D_{\sigma }\right)+c_1=0,$(20)

где   $a_1=\frac{\sqrt{2}\left(1-K\right)}{{\overline{\tau }}_{0c}\left(1-K+K^2\right)};c_1=-\frac{{\overline{\tau }}_{0c}^2{K}^2}{1-K+K^2};$              

${\overline{\tau }}_0={\tau }_0{R}_b^{-1}$ – относительное октаэдрическое касательное напряжение; ${\overline{J}}_3=J_3{R}_b^{-3}$;

${\overline{\tau }}_{0c}=\frac{1}{6}\left\{A+\sqrt{A^2-48\sqrt{2}{m}_c\left({\overline{\sigma }}_0-c\right)}\right\},$ (21)

где $\begin{array}{l}A=m_c\left(\sqrt{2}-4\right)-2c\left(3{\overline{\sigma }}_0+6+m_c\right);\\ c=m_c\chi \left\{4a-\left[4+\sqrt{2}a{\left(\chi +b\right)}^{-1}\right]\left(1+b\right)\right\}{\left\{2\left[m_c\chi \left(1+b\right)+6ma\right]\right\}}^{-1};\\ \chi =R_{bt}{R}_b^{-1};a=m\left(\chi -1\right);b=m\left(\chi +1\right);m=1+1,25\chi .\end{array}$

${\overline{\sigma }}_0={\sigma }_0{R}_b^{-1}$ – относительное среднее нормальное напряжение;

$K=m\sqrt{2}{\left(m\sqrt{2}-\alpha \right)}^{-1},$ (22)

$\alpha =2\left(2+c\right){\overline{\tau }}_{0c}\left[4\left({\overline{\sigma }}_0-c\right)-{\overline{\tau }}_{0c}\right],$ m, c – переменные, описанные в (24).

Сечение второй поверхности при μ_σ=±1:

$f_2\left({\sigma }_{ij},{\epsilon }_{ij}^p\right)=d_0{\overline{\tau }}_{0c}^{\ast }+{\overline{\sigma }}_0-{\sigma }^{\ast }=0,$ (23)

где d₀ = –0,2; σ^* – параметр, связанный с механизмом упрочнения поверхности; ${\overline{\tau }}_{0c}^{\ast }$ – величина, определяемая из выражения (21).

Для получения других сечений достаточно продифференцировать функции первой поверхности по множителям m_c при заданных значениях ${\overline{\tau }}_{0c}^{\ast }$ и σ^*.

Первая поверхность пластического потенциала g₁ = 0 имеет вид

$t\left(2{\overline{\tau }}_0-t\right)\left(1-{\overline{\sigma }}_0\right)+{\overline{\tau }}_0=0,$ (24)

где $t={\overline{\tau }}_0+\sqrt{{\overline{\tau }}_0^2+{\overline{\tau }}_0{\left(1-{\overline{\sigma }}_0\right)}^{-1}}.$

Вторая (замыкающая) поверхность пластического потенциала g₂ = 0:

$q{\overline{\tau }}_0+p{\overline{\sigma }}_0-{\sigma }^{\ast }=0,$ (25)

Где $p=-1;q=2{\left[1,25-0,2{\overline{\sigma }}_0+\sqrt{{\left(1,25+0,2{\overline{\sigma }}_0\right)}^2+0,8\left({\overline{\tau }}_0-0,2{\overline{\sigma }}_0\right)}\right]}^{-1}.$ Параметры упрочнения для поверхностей приведены в [1, 2].

Место представленных соотношений в общей модели деформирования трехмерных (массивных) железобетонных элементов с трещинами

Основная зависимость в общей модели железобетона [1, 5] между бесконечно малыми приращениями напряжений и деформаций сохраняет общую форму (2). Поэтому для включения разработанных соотношений в общую модель достаточно вычислить характеристики бетона D_ijkl, как показано выше, учесть армирование и трещинообразование, как показано, например, в [5].

Подробное описание алгоритмов общей модели железобетона с учетом представленной модели приведено в [1].

Оценка долговечности железобетонных конструкций с учетом разработанной модели

Особенностью применения модели для оценки долговечности конструкций состоит в том, что достаточно в параметры функций (20) и (21) ввести коэффициенты, учитывающие изменение прочностных и деформативных свойств материала со временем – принцип подобия поверхностей сохраняется и здесь. Для учета изменения модуля упругости бетона с течением времени можно воспользоваться известными зависимостями [4].

Коррозия и другие повреждения арматуры учитываются аналогично в рамках общей модели деформирования железобетона.

Долговечность как момент исчерпания эксплуатационной пригодности по условию прочности элементов конструкции определяется последовательными расчетами несущей способности при различных значениях времени эксплуатации.

Практическая значимость

Модель базируется на методе конечных элементов, что позволяет с единых позиций уже на стадии проектирования оценивать долговечность будущего строения.

Заключение

1. Представлены основные положения модели нелинейного деформирования бетона на основе теории течения.
2. Показано место полученных выражений в общей модели деформирования трехмерных железобетонных элементов.
3. Показаны пути применения модели для оценки долговечности бетонных и железобетонных конструкций.

About the authors

Leonid Yu. Solovyov

Author for correspondence.
Email: lys111@yandex.ru

candidate of technical sciences (PhD in engineering), associated professor

References

Supplementary files