Definition of inductance vehicle electromagnet magnitolevitation transport system

详细

Definition of inductance vehicle electromagnet magnitolevitation transport system

全文:

Аналитическое исследование установившихся и переходных режимов работы различных магнитолевитационных транспортных системах, в том числе и относительно мало исследованной в комбинированной системе левитации и тяги на переменном токе предполагает знание параметров этих систем и в частности индуктивности экипажных электромагнитов. При этом точность определения коэффициента самоиндукции во многом определяет достоверность результатов, получаемых при исследовании электромеханических систем, в особенности, если эти исследования носят поисковый характер.

Расчёт коэффициента самоиндукции различных проводящих систем, как правило, представляет собой технически сложную процедуру, связанную с громоздкими вычислениями даже для самых простых форм электромагнитов.Большое количество справочников по вычислению указанных величин (см., например, библиографию в [1-2]) содержат, в основном, наборы приближённых формул, точность которых и зоны их применимости далеко не всегда указываются.

Настоящая статья посвящена определению величины коэффициента самоиндукции L_T для проводников определённой конфигурации, у которых величина «высоты» электромагнита пренебрежимо мала по сравнению с другими геометрическими размерами катушки. Такие электромагниты будем называть «бесконечно» тонкими (плоскими) источниками магнитного поля.

Общая формула для определения индуктивности плоского источника магнитного поля L_T задаётся следующим соотношением [2]:

$L_T=\frac{{\mu }_0{W}^2}{4\pi I^2}\underset{S}{\int }d\rho \underset{S^{\text{'}}}{\int }d{\rho }^{\text{'}}\left(i,i^{\text{'}}\right)/\left|\rho -{\rho }^{\text{'}}\right|$

где $d\rho =dxdy,d{\rho }^{\text{'}}=d{x}^{\text{'}}d{y}^{\text{'}},$${\left|\rho -{\rho }^{\text{'}}\right|}^2={\left(x-x^{\text{'}}\right)}^2+{\left(y-y^{\text{'}}\right)}^2$  (x, y) и (x^', y^' ) – подходящие декартовы координаты, i и i^' – линейные плотности тока, S≡S^'– токонесущая поверхность катушки, W– число витков, μ₀=4π·10^-7 Гн/м – магнитная постоянная. Дальнейшие рассмотрения будут проводиться для одновитковой катушки ($W=1$). В качестве плоского источника магнитного поля рассмотрим электромагнит прямоугольной формы, схематичное изображение которого представлено на рис.1.

Рис.1. Схематическое изображение плоского источника магнитного поля прямоугольной формы

Смысл обозначений, указанных на рис. 1 понятен из его содержания. Отметим, что на геометрические параметры данного плоского электромагнита накладывается естественное ограничение: $0<w\le \min \left(a,b\right)$.

Для рассматриваемой конфигурации источника магнитного поля модуль линейной плотности тока определяется равенством $i=i^{\text{'}}=I/2w$. Переходя в (1) к безразмерным координатам и совершая там же первичное двукратное интегрирование, можно получить следующее выражение для коэффициента самоиндукции плоской катушки прямоугольной формы $L_T$:

Переходя в (1) к безразмерным координатам и совершая там же первичное двукратное интегрирование, можно получить следующее окончательное выражение для коэффициента самоиндукции плоской катушки прямоугольной формы $L_T$:

$\frac{L\left(\nu \right)}{\nu }=\ln \frac{1+r}{\epsilon }-\frac{1}{\epsilon }\ln \left(\epsilon +r\right)-\frac{{\left(2+r\right)}^2-2}{3\left(1+r\right)}-\frac{1}{3\sqrt{2}{\epsilon }^2}\sum _{k=\pm 1}{\left(1+k\epsilon \right)}^3\ln \frac{1+\sqrt{2}r-k\epsilon }{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1+k\epsilon \right)}$,

где $r^2=1+{\epsilon }^2,\epsilon =\delta /\nu ,\left(0<\epsilon \le 1\right)$

В качестве нормирующего множителя при переходе к безразмерным координатам в (2) выбрана величина  2p – полупериметр катушки по средней линии.

Расчёт величины $L_T$ целесообразно проводить в безразмерном виде. В качестве базовой выберем величину индуктивности плоской катушки $L_0$, представляющей собой квадрат с «проколотым» центром. После соответствующих вычислений при   можно получить приближенную формулу

$L_0=\frac{{\mu }_{0}P}{\pi }\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1+\ln \left(1+\sqrt{2}\right)}{1+\sqrt{2}}\approx 2.078\cdot {10}^{-7}P$,

$P=4p$ – периметр квадратной катушки по средней линии.

Результаты численного анализа, показывающего зависимость относительной индуктивности  $L_T/L_0$ от параметра  e при различных значениях «вытянутости» катушки ς, представлены на рис.2.

Рис.2. Зависимость относительного коэффициента самоиндукции плоской катушки прямоугольной формы LT/L0

(числа у кривых соответствуют значениям «вытянутости» катушки). Параметры e и ς соответственно равны: $e=w/\min \left(a,b\right)$, $\varsigma =\max \left(a,b\right)/\min \left(a,b\right)$. Пунктирная линия отвечает приближённой формуле ${\left.L\right|}_{\delta <<\min \left(\alpha ,\beta \right)}/L_0$ при $\varsigma =1$. В расчётах периметр катушки по средней линии $P=4p$ принимается постоянным, $L_0$ определено в (14).

Краткие выводы:

1. Получено точное аналитическое выражение для величины коэффициента самоиндукции «тонкого» источника магнитного поля прямоугольной формы в виде алгебраической суммы элементарных функций.
2. Выведена приближённая формула для вычисления коэффициента самоиндукции, погрешность которой не превышает 14% в области изменений всех геометрических параметров электромагнита.