The radiophysic model of the resonance phenomena in lipidic membranes of cells

Full Text

Введение. В исследованиях по резонансным явлениям в мембранах клеток были обнаружены многорезонансные явления при воздействии на клетки электромагнитным излучением (ЭМИ) миллиметрового диапазона длин волн [3]. Зависимость изменения N/N₀ у мышей от длины волны показана на рисунке 1, где N₀ - исходный уровень (количество) кариоцитов (на животных нет воздействий ЭМИ и рентгеновского облучения).

Цель исследования. Не вдаваясь в механизмы восстановления количества клеток при действии ЭМИ, объяснить резонансную суть явления на основе радиофизической модели.

Результаты и их обсуждение. 1. Построение модели. Будем полагать, что мембрана клетки имеет сферическую форму. Такая форма не является обязательной, однако упрощает нахождение длины периметра (сечения) мембраны по пути распространения акустоэлектрической волны. Акустоэлектрическая волна порождается ударами в мембрану белковых молекул, имеющих электрический заряд. Разновидности белковых молекул, их роль и природа электрического заряда достаточно полно изучены А.Г Муляр [4]. В точке удара порождаются левая и правая волны: Е_л Е_п - распространяющиеся со скоростью V против и по часовой стрелке соответственно (рис. 2). На фазовой плоскости модули векторов левой и правой волн равны половине модуля суммарного вектора при резонансе (f=f_рез ):

 

При резонансе левая и правая волны, пройдя путь L = πd , где d- диаметр клетки, в точке возбуждения В складываются в фазе, то есть угол α между векторами Е_л и Е_п равен нулю.

Итак, условие резонанса:

 

α = 0.                              (1)

 

Количество длин волн N по периметру L мембраны клетки связано с длиной волны Ʌ_N в мембране выражением:

 

(2)

 

С другой стороны,

 

(3)

 

где V - скорость распространения акустоэлектрических колебаний в липидной мембране клетки; f_N - резонансная частота, при которой по периметру L укладывается N длин волн.

Резонансная частота f_N находится на основании экспериментальной зависимости [3] (см. рис. 1):

 

Рис. 1. Зависимость изменения от длины волны (X) числа кариоцитов N/N₀ у мышей после воздействия на них ЭМИ и последующего рентгеновского облучения [3]: линия R — уровень отношения N/N₀ после рентгеновского облучения мышей; линия ЭМИ — уровень отношения N/N₀ после воздействия ЭМИ (данный уровень практически совпадает с исходным уровнем); линия ЭМИ+R — отношение N/N₀ после рентгеновского облучения мышей, предварительно облученных ЭМИ

 

Рис. 2. Возбуждение волн в мембране: В — точка возбуждения; Е_л — левораспространяющаяся и Е_п — правораспространяющаяся волны с амплитудами % Е; при резонансе амплитуда суммарная равна Е; при f Ф Г_рез амплитуда суммарного поля Е<Е; М — контур мембраны клетки

 

(4)

 

 где с = 3*10¹⁰ см/с - скорость распространения электромагнитных волн в вакууме (это же значение скорости принимают при расчете длины волны в среде, заполненной воздухом, то есть когда относительная диэлектрическая проницаемость ε^ 1); λ_рез – длина ЭМВ при резонансе, определяемая по графику (см. рис. 1).

 

Резонансные частоты воздействия внешнего ЭМИ и акустоэлектрических колебаний, вызванных этим воздействием, равны. Это объясняется тем, что процессы на клеточном уровне при воздействии ЭМИ навязываются этим же излучением. Подобный процесс наблюдается в пассивных электрических цепях: при подключении к цепи источника гармонических (синусоидальных) колебаний в цепи устанавливаются процессы, частота которых равна частоте изменения тока внешнего источника, но с некоторым отличием начальной фазы. Начальная фаза зависит от реакции цепи на ток, протекающий в цепи. При резонансе между напряжением на клеммах цепи и протекающим током нет разности в начальных фазах.

Приравнивая правые части выражений (2) и (3), получаем:

L₌V.                                   (5)

N f_N

Для резонанса, при котором по периметру L укладывается (N+1) длин волн, имеем:

^L₌2L.                                  (6)

N + 1 fN+1

Таким образом, имеют место два уравнения (5) и (6) с двумя неизвестными N и L. Совместное решение этих линейных уравнений дает следующие выражения для расчета N и L:

N= ^K'------ ₌ А;                           (7)

А₊|-Д ^п

f^-fN ",                               (8)

где П        - Д - полоса частот между двумя соседними резонансными частотами, определяемыми по экспериментально полученной зависимости (спектру), в частности представленной в работе [3].

Рассмотрим два соседних резонанса (см. рис. 1):

Х1 = 7,10 мм = 0,710 см; '/.₂ = 7,12 мм = 0,712 см. Для них резонансные частоты

_{=                          =} 3'_{22535 о}ш _{42 2535/г} ^;

' Л, 0,71см

_{JL =} 310"’_Cm/^ _4>2134₈.₁₀w_{r                                   42 ]348ГГ}

0.712см

Полоса частот

Л =(4,22535-4,21348)-10'“ = 0,01187-10'“ =1,187-10“ Л/.

Тогда на основании формул (7) и (8), находим:

^₌A ₌ A₌4.22535.1O'°_=3S6.

^u П П 1,187-10“

, V 400м/с

L,„ =— =----------------- т—- = 337-10 м = 3,37.мкм.

П 1,187 10* с”

Диаметр клетки кариоцита у мыши

. L 3,37

d = —=---- » 1,Lw/gw,

что в 20...30 раз меньше диаметра той же клетки у человека. Это различие вызвано большим объемом переноса кислорода и азота у человека. Вероятно, и количество кариоцидных клеток у человека больше, чем у мышей.

В расчетах скорость распространения акусто- электрических волн в липидной мембране клетки V принята за 400 м/с.

Проверка и уточнение модели. Предложенная модель должна соответствовать резонансным явлениям в мембране клетки, то есть на основании модели можно построить функциональную зависимость, приведенную на рисунке 1. С целью доказать, что модель применима, рассмотрим другие два соседних резонанса:

/3 = ; f = j-; х_з = 7,15 мм; Х₄ = 7,17 мм;

З-IO^/c                                                              н,

0Д\5см                                ^;       0,717 си                ^;

П =/,-/₄ =(4,1958-4,1841)-10¹“Л/ = 1,17 10“Л/;

Д „ = — = . » 342 10 " м = 3,42л«км.

II 1,1710^я

Из расчетов следует, что

^N1,2 * ^N3,4^; N3,4 - N1,2 = 359 - 356 = 3,

то есть количество длин волн возросло на 3. Эти три волны уложились на разности периметров:

L_)t -Д₃ = (3,42-3,37).wkm = 0,05 uk.u.

Из этой разности находим длину волны в мембране:

Л = 0*03 « 0.0167 тем.

г,                                  3                                        -

Сравним это значение длины волны с длиной, определяемой по формуле (3):

 

^Л'”‘7~4,1Хю%-~'О"“ ⁼ О-⁰⁰*⁵’“^К".

Различие в длинах акустоэлектрической волны указывает на то, что периметр L, по которому распространяются левая и правая акустоэлектрические волны, не представляет собой окружность в плоскости сечения сферы. Это более сложный путь, больший, чем L=^d. Такой результат ожидаемый, так как мембрана клетки - это неоднородная система. Неоднородности в мембране определяют ее резонансные частоты. Волны огибают их, то есть направление распространения энергии акустоэлектрических волн определяется из условий минимальных потерь энергии.

Другими словами, из всего возможного множества путей распространения {L1, L₂, L₃ ... L, ... L_n} будет реализован некоторый путь L, распространяясь по которому акустоэлектрическая волна будет меньше всего расходовать энергию. В этом суть резонанса как в технических сверхвысокочастотных резонаторах, так и биологических резонаторах (мембранах клеток).

С подобными проблемами в разработке моделей встречаемся, например, при исследовании электрической проводимости в проводниках. В них путь движения электрона имеет существенное различие по сравнению с движением в вакууме при заданной разности потенциалов (напряжение U). В вакууме кинетическая энергия электрона:

И — —■— « eU,

2 где m_e, e - масса и заряд электрона соответственно.

Откуда находим скорость электрона:

Для того чтобы использовать эту модель движения электрона, например, для изучения проводимости в металлах, вводят эффективную массу электрона m_e > m_e. Эффективная масса учитывает взаимодействия электрона с полями атомов. При своем движении электрон «обходит» атомы, находящиеся в узлах кристаллической решетки.

Путь его движения L становится длиннее, а следовательно, скорость движения вдоль проводника будет меньше. Это учитывается эффективной массой электрона:

При исследовании резонансных свойств в мембранах клеток живых организмов подобное явление привело к неравенству длин контуров (путей) распространения акустоэлектрических волн для двух соседних резонансов. Очевидно, что это неравенство усилится при возрастании разности между резонансными частотами. Для того, чтобы модель исследования не усложнялась, введем в выражение (8) эффективную скорость распространения акустоэлектрических волн V по контуру в виде окружности L=nd. Очевидно, что V*<V, где V- реальная скорость распространения акустических волн.

Коэффициент замедления примем равным:

к д/ч'” 2ДД1.1,7524.

0,00953

_F._=J__{k =} 400^_e228u/c

К, 1,7524              .

Определим вновь L₁₂ и L₃₄:

_ r__ 228-w/c _ до ₁₀ , _H __ ! 92._I(K1(;

^■² П 1,187 10’c’¹

= ^228w/c = 194,8918 -10 '.u = 1,95л«си

⁴ П l,17010“c ¹

 

Определим разность

Z.,,-L,, = 1,95 -1,92 - 0,03л«лг.

На этой разности укладывается три длины волны.

Следовательно, длина волны

Л _{=      =} й,0].и«.и.

Найдем длины волн для резонансных частот f₃ и f₄:

и¹'*                          ——⁴⁰⁰'^и/н .-О.ООЯЗлкм;

/, 4.1958 10V

Л¹'¹ - — ------------------- ^{400 Mjl}: ■ 0,00956.ИКМ

/. 4,18410 10V * —                                I

Таким образом, длины волн л⁽³⁾ и Л⁽⁴⁾, рассчитанные для реальной скорости распространения акустической волны в липидной мембране клетки, с точностью до погрешности в эксперименте и построении графика на рис. 1 совпадают с длиной волны, рассчитанной по формуле:

Применение модели для исследования резонансных свойств мембран клеток. Покажем применение модели на примере построения резонансной кривой (рис. 1) с резонансной частотой f₀ = c/X, где X=0,715 см. Значение у ₌³¹⁰' ^cwZc»4.i95sio"7y.

0,715

Диаметр сферической мембраны Д=1,1 мкм.

Значение /,=ж<1 = 4,4558л<км=з,4558 10'7и. Полагаем, что условия распространения левой и правой волн (9)

одинаковые. Следовательно, время запаздывания t₃ для этих волн будет одинаковым. Под временем запаздывания понимается время, необходимое для прохождения волной пути L с эффективной скоростью V = 228 мЛ- ,

^Z,.4.£,³-^4S88l0_£. 0,0152 -10^-1,5210^ ’ V d тм1с          .

Фазовый набег

Ф = ан = 2/г/ -I —       <

Угол а между положением вектора волны в точке В (точка возбуждения на рис. 2) при резонансе и положением того же вектора на любой другой частоте, отличной от резонансной, но соответствующей области частот для выбранной резонансной кривой, находится из выражения: a - 2яВ где «{/■?,} - оператор, указывающий на то, что необходимо взять дробную часть числа (/-*,).

 

Разобьем интервал длин волн [X = 7,15 мм, X = 7,16 мм] на М частей. Для начала каждой части интервала определим частоту.

Пример. М = 10:

/„^с/0,715^;

Д=с/(0,715 ₊ 0₅0001)с«;

,Л=сДО, 715 + 2-0,0001)си;

/^^0,715*3.0,0001)^;                                         (10)

Д = с/(0,715 + 9 • 0,0001 )см , где c=3-10“gm/c - скорость ЭМВ в вакууме.

/,=4,1958 10 7i/; / =4,1952 10'71/; / =4.1946 Ю'"П/; / = 4,1940 lO'Tq; /-4,1934-10'71/; / -4,1929 10'71/; /-4,|923 10^,71/; /_Т«4,1917-|(РЛ/; /-4,1911 10'7 У; / =4.1905-10'71/; /„=4.1899-10'71/.

Введение V - эффективной скорости распространения акустоэлектрической волны - позволяет перейти от реального пути L к ее проекции I* на плоскость, проходящую через точку возбуждения (точка В на рис. 2) и центр сферы (полагая, что мембрана клетки имеет сферическую форму. Это условие не является обязательным, о чем будет сказано ниже). Очевидно, что

l‘ = n,₂a‘ = n,,—.                 (11)

где N₁₂ - количество длин волн, укладывающихся по контуру L;

л* - длина волны на проекции L;

f₀ - резонансная частота.

Тогда время задержки где T₀ = 1f₀ - период резонансных колебаний.

Выражение (12) имеет простой смысл: на прохождение пути в одну длину волны затрачивается время t= T₀, на прохождение пути в N₁₂длин волн затрачивается время в N, ₂ раз больше.

Теперь ’с введением эффективного контура L* как проекции любого другого контура L на плоскость трехмерный процесс сведён к эквивалентному ему двумерному процессу прохождения от точки возбуждения В левой и правой акустических волн.

На основании формулы (12) находим значение времени задержки:

/ = —— ■ 10-‘°с = 0,84847 • 10"⁸ с ’ 4,1958

Применяя формулу (10) для расчета угла а, находим значения cos а и суммарного вектора ecosa. После

 

(12)

 

нормировки (деление на Е) нормированная резонансная кривая имеет следующий простой вид: F (X) = cos a . Умножением функции F(X) на значение (N/N₀’ %) при резонансе (N/N₀ = 87%) получаем правый (от резонанса) спад резонансной кривой. Левый спад графика симметричен (рассчитывается аналогичным образом). Последовательность действий по расчету части графической зависимости и расчетные значения представлены в таблице.

 

Таблица

Последовательность и результаты вычислений

X, мм	f ■ 1010, Гц	а = — D {f ■ т}	F(2) = cos а	18 F(X)	NlN0 = 70% + 18F (2)
7,15	4,1958	0,006551	0,99998	18	88
7,151	4,1952	5,969868	0,951316	17	87
7,152	4,1946	5,596694	0,77347	14	84
7,153	4,194	5,33014	0,5792	10,4	80,4
7,154	4,1934	5,01027	0,2935	5,3	75,3
7,155	4,1929	4,74374	0,03135	0,5	70,5
7,156	4,1923	4,42385	-0,28455	-5,3	64,7
7,157	4,1917	4,10399	-0,57156	-10,4	59,6
7,158	4,1911	3,78412	-0,80058	-14	56
7,159	4,1905	3,46426	-0,94839	-17	53
7,16	4,1899	3,14436	-0,99999	-18	52

 

 

Вычисление функции (N/N₀’ %) методом встречных бегущих акустоэлектрических волн в липидной мембране кариоцитной клетки мыши (рис. 3) при t₃ = 0,84847 10“^sc демонстрируется таблицей последовательности вычислений.

 

Рис. 3. Построение зависимости, представленной на рисунке 1, методом встречных бегущих акустоэлектрических волн. Зависимости экспериментальная и расчётная практически полностью совпадают. Точками показаны значения функции, определённые по графику на рисунке 1

 

Применение модели для исследования потерь энергии акустоэлектрических колебаний в мембранах клеток по результатам экспериментальных резонансных характеристик. Известно, что добротность резонансной (колебательной)системы определяется следующим выражением:

(13)

где f₀ - резонансная частота; П - полоса пропускания частотной характеристики, определяемая на уровне 1Д/2 от максимального значения на резонансной частоте (рис. 4).

 

Рис. 4. Определение полосы пропускания по частотной характеристике

 

Добротноть также можно вычислить по формуле где р - волновое сопротивление, r - сопротивление потерь резонансной системы.

Чем выше значение резонансной частоты, тем выше значение добротности. Выберем любые три соседних резонанса(см.рис.1):

для среднего из трёх у -pj?;

для левого резонансная частота выше, следовательно, Q, =(/’, + Ар)/(г, -Аг);

для правого резонансная частота ниже, следовательно, ё₂ = (д -Ар)/(г, +Аг).

Найдём отношение А и B:

 

[2]:

 

^-a/a-nj; a=<2,/e=^^L,                        (15)

 

где              - относительное изменение волнового сопротивления; 3 = ^Ar/^rx - относительное изменение сопротивления потерь в резонансной системе.

Совместное решение уравнений (15)

В + А-2АВ        В + А-2

х =-------------- ; х, =----------

В-А ² В-А                               (16)

позволяет найти относительное изменение волнового и относительное изменение сопротивления потерь:

(18)

В выражениях (17) и (18) добротности Q1, Q₂ и Q3 находятся на основании экспериментальных частотных характеристик по формуле (13). Значения указанных добротностей можно определить, используя радиофизическую модель встречных акустоэлектрических волн (пп.3). Для этого достаточно использовать выражение (10), приравняв значение cosa к значению 1/V2 . При этом значение угла а = 0,7854 . Из выражения 2яп\)          0,785-1 находим значение частоты f, при котором выполняется это равенство. Тогда полоса пропускания п -2|/,:-/, а добротность, согласно (13),

0 = А/(2|Л-/|).                      (19)

Выводы

В основу радиофизической модели положено возбуждение встречных волн в липидной мембране кариоцитов. Причиной возбуждения может быть автогенерация или дефекты мембраны, вызванные ударами белковых молекул [1]. Автогенерация может быть вызвана тепловым движением молекул как в самой мембране, так молекул сред, примыкающих к мембране. При автогенерации энергия квазистационарного электрического поля преобразуется в энергию акустоэлектрических встречных волн, распространяющихся по некоторому реальному пути (контуру) L мембраны.

Апробирование модели произведено на основе экспериментальной зависимости изменения от длины волны X относительного числа кариоцитов (клеток) N/N₀ у мышей после воздействия ЭМИ и последующего рентгеновского облучения [3]. На основе модели разработан алгоритм теоретического расчета зависимости N/N₀. Эта зависимость полностью согласуется с экспериментальной зависимостью, описанной Н.Д. Девятковым, М.Б. Голантом, О.В. Бецким [1], и Л.А. Севастьяновой и др. [3]. Следовательно, модель применима для анализа воздействия ЭМИ в КВЧ-диапазоне на мембраны клеток живых организмов.

Модель позволяет извлечь скрытую информацию в резонансных характеристиках, полученных экспериментально: L - длину контура (пути), по которому распространяются встречные акустоэлектрические волны (формула (8) и количество длин волн N, укладывающихся по этому контуру (формула (7).

Для каждого резонанса существует свой контур (путь) движения волн. Этот вывод сделан на основе расчета N1 ₂ для двух соседних резонансов на длинах волн ЭМИ 11 = 7,10 мм и Х₂ = 7,12 мм и расчета N₃₄ на длинах волн Х₃ = 7,15 мм и Х₄ = 7,17 мм. Разность значений А'_3| - N₁₂ = 3 . Эти три волны уложились на разности путей Д,₄-Д₂ = 0,05.wkew, что позволило определить длину акустоэлектрической волны /l = 0,05/3~0,0167.MOf = 16₁7»,w. Следовательно, модель встречных акустоэлектрических волн позволяет установить различные пути распространения волн не только при различных резонансах, но и определить длину волны в липидной мембране клетки. При этом эта длина волны значительно отличается от расчетной.

Апробирование модели позволяет утверждать ее соответствие процессам распространения акустоэлектрических волн в липидных мембранах ядерных клеток.

Установленный факт различных путей движения акустоэлектрических волн для разных резонансов указывает на изменчивость положения в пространстве вектора электрической поляризации этих волн. Следовательно, для биологической активизации клеток внешним электромагнитным излучением воздействующая электромагнитная волна должна иметь вращающуюся поляризацию, желательно в трехмерном пространстве.

Радиофизическая модель позволяет изучить такие важные характеристики многорезонансных систем (биологических и технических), как изменение добротности и потери энергии при изменении резонансной частоты (выражения (17-19).

About the authors

A. I. Domakov

Вологодский государственный университет

Email: bmt@mh.vstu.edu.ru
Russian Federation, Вологда

A. G. Kuzmin

Вологодский государственный университет

Email: bmt@mh.vstu.edu.ru
Russian Federation, Вологда

S. V. Turygin

Вологодский государственный университет

Author for correspondence.
Email: bmt@mh.vstu.edu.ru
Russian Federation, Вологда

References

Supplementary files