Том 19, № 1 (2015)

О полноте одной пары биортогонально сопряженных систем функций

Гималтдинова А.А., Курман К.В.

Аннотация

В работе изучена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на конечном отрезке с разрывным коэффициентом при старшей производной. На концах отрезка заданы краевые условия первого рода, во внутренней точке заданы условия сопряжения по функции и первой производной. Найдены собственные значения с соответствующей асимптотикой как корни трансцендентного уравнения. Система собственных функций представляет собой тригонометрические синусы на одной половине отрезка и гиперболические синусы - на другой. Система собственных функций неортогональна в пространстве квадратично суммируемых функций. Построена соответствующая ей биортогональная система функций как решение сопряженной задачи. При доказательстве полноты биортогональной системы использована известная теорема Келдыша о полноте системы собственных функций несамосопряженного оператора.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(1):7-18
pages 7-18 views

О задаче Дирихле для эллиптического уравнения

Гущин А.К.

Аннотация

Хорошо известно, что естественно возникающее из вариационных принципов и удобное в применении понятие обобщённого решения из соболевского пространства $W_2^1$ задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка не является в буквальном смысле обобщением понятия классического решения: не любая непрерывная на границе области функция является следом функции из $W_2^1$. Обобщение обоих этих понятий было предложено в 1976 году Валентином Петровичем Михайловым, памяти которого посвящена настоящая работа. В определении Михайлова граничное значение решения берется из $L_2$; естественно обобщается это понятие и на случай граничной функции из $L_p$, $p > 1$. Впоследствии автором настоящей работы было доказано, что при выполнении не слишком обременительных условий такие решения обладают свойством $(n - 1)$-мерной непрерывности. Это свойство аналогично классическому определению равномерной непрерывности, но вместо значения функции в точке следует рассматривать её следы на мерах из специального класса, немного более узкого, чем класс мер Карлесона. След функции на мере является элементом пространства $L_p$ по этой мере. $(n - 1)$-мерная непрерывность означает, что следы на мерах близки, если близки эти меры. Определение близости мер учитывает близость (в специальном смысле) их носителей, а расстояние между следами (они элементы различных пространств) вводится с помощью погружения в пространство функций удвоенного числа переменных. Свойство $(n - 1)$-мерной непрерывности позволило дать другое, по форме весьма близкое к классическому определение решения - $(n - 1)$-мерно непрерывное решение. Как и понятия классического и обобщённого решений оно не требует условий гладкости границы рассматриваемой области. В отличие от случаев классического и обобщённого решений задача Дирихле в постановке Михайлова и тем более с $(n - 1)$-мерно непрерывным решением исследована недостаточно полно. Прежде всего это относится к условиям на правую часть уравнения, при которых задача Дирихле разрешима. В работе приведён ряд новых результатов в этом направлении. Кроме того, обсуждаются условия на коэффициенты уравнения, границу ограниченной области, в которой рассматривается задача, и заданные граничные значения решений. При этом результаты о разрешимости и о граничном поведении решений сравниваются с аналогичными теоремами, относящимися к случаю классического и обобщённого решений, обсуждаются некоторые возникающие при таком сравнении нерешённые задачи.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(1):19-43
pages 19-43 views

О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях

Кожевникова Л.М., Хаджи А.А.

Аннотация

В работе выделен некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с младшими членами с нестепенными нелинейностями $$ \sum\limits_{\alpha=1}^{n}(a_{\alpha}({\bf x},u,\nabla u))_{x_{\alpha}}-a_0({\bf x},u,\nabla u)=0. $$ На каратеодориевы функции, входящие в уравнение, накладывается условие совокупной монотонности. Ограничения на рост функций формулируются в терминах специального класса выпуклых функций. Эти требования обеспечивают ограниченность, коэрцитивность, монотонность и~семинепрерывность соответствующего эллиптического оператора. Для рассматриваемых уравнений с нестепенными нелинейностями исследованы качественные свойства решений задачи Дирихле в неограниченных областях $\Omega\subset \mathbb{R}_n,\;n\geq 2$. Установлены существование и единственность обобщённых решений в анизотропных пространствах Соболева-Орлича. Кроме того, для произвольных неограниченных областей обобщены теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-Орлича. Это позволило доказать глобальную ограниченность решений задачи Дирихле. Использована оригинальная геометрическая характеристика для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси. В терминах этой характеристики установлена экспоненциальная оценка скорости убывания на бесконечности решений рассматриваемой задачи с финитными данными.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(1):44-62
pages 44-62 views

Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена

Напалков В.В., Муллабаева А.У.

Аннотация

Получено решение кратной интерполяционной задачи Валле Пуссена оператора обобщенной свертки. Основное внимание уделено доказательству секвенциальной достаточности множества решений характеристического уравнения оператора обобщенной свертки. В обобщенном пространстве Баргмана-Фока сопряженным оператором к оператору умножения на переменную $z$ является оператор обобщенного дифференцирования. С помощью этого оператора вводятся операторы обобщенного сдвига и обобщенной свертки. С применением цепочки эквивалентных утверждений получено, что кратная интерполяционная задача Валле Пуссена разрешима тогда и только тогда, когда сюръективна композиция оператора обобщенной свертки с умножением на фиксированную целую функцию $\psi(z)$. Нули функции $\psi(z)$ являются узлами интерполяции. Сюръективность композиции оператора обобщенной свертки с умножением сводится к доказательству секвенциальной достаточности множества нулей характеристической функции оператора обобщенной свертки в множестве решений обобщенного оператора свертки с характеристической функцией $\psi(z)$. При доказательстве секвенциальной достаточности возникла необходимость рассмотрения отношений собственной функции при различных значениях $\mu_i$. Собственные функции с большим значением $\mu_i$ уходят на бесконечность быстрее, нежели собственные функции с меньшим значением при $z$, стремящимся к бесконечности. При одинаковых значениях $\mu_i$ производная собственной функции большего порядка уходит на бесконечность быстрее, чем производная меньших порядков. Существенную роль играет тот факт, что ядро оператора обобщенной свертки с характеристической функцией $\psi(z)$ представляет конечную сумму собственных функций и ее производных. С использованием разложения Фишера, теоремы Дьедонне-Шварца и теоремы Майкла о существовании непрерывного правого обратного получено, что если нули характеристической функции оператора обобщенной свертки расположены на положительной вещественной оси в порядке возрастания, то кратная интерполяционная задача Валле Пуссена разрешима в узлах интерполяции.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(1):63-77
pages 63-77 views

Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка

Репин О.А., Тарасенко А.В.

Аннотация

Для уравнения с частными производными смешанного типа (уравнение диффузии дробного порядка) в конечной области исследована нелокальная задача, краевое условие которой содержит линейную комбинацию обобщённых операторов дробного интегро-дифференцирования от значений решения на характеристиках со значениями решения и его производной на линии вырождения. Единственность решения задачи доказана с помощью модифицированного метода Трикоми, а существование решения эквивалентно редуцировано к вопросу разрешимости интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(1):78-86
pages 78-86 views

Ультраметрическая диффузия в сильном центрально-симметричном поле

Сизова О.М.

Аннотация

Рассмотрен случайный процесс на границе конечного регулярного дерева, помещённого во внешнее центрально-симметричное поле, относительно введённой ультраметрики. Показана процедура сведения этой задачи к задаче меньшей размерности. Также рассматривается случай предельно сильного поля, который удаётся решить аналитически. Приводятся решение для частного случая линейного роста иерархии барьеров переходов и оценка кинетики перехода в основное состояние.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(1):87-104
pages 87-104 views

Бигравитация в гамильтоновом формализме

Соловьев В.О.

Аннотация

Одним из путей решения проблемы темной энергии Вселенной является теория бигравитации, содержащая два метрических тензора, каждый из которых минимально взаимодействует со своим набором полей материи. Лагранжиан бигравитации является суммой двух лагранжианов общей теории относительности с разными гравитационными постоянными и разными наборами полей материи, а также потенциала взаимодействия двух метрик, не содержащего производных. В общем случае такая теория содержит 8 гравитационных степеней свободы: безмассовый гравитон, массивный гравитон и дух. Специальный выбор потенциала, предложенный де Рам, Габададзе и Толи (dRGT), позволяет избавиться от духовой степени свободы. Однако потенциал dRGT построен с помощью матричного квадратного корня и не является явной функцией от компонент двух метрик. Одним из путей обхода этой трудности является использование тетрадных переменных. В докладе рассмотрен альтернативный подход, в котором предполагается существование потенциала, выраженного дифференцируемой функцией компонент(3 + 1)-разложения двух метрик, затем выводятся свойства этой функции, необходимые и достаточные для исключения духовой степени свободы. Результаты получены с помощью анализа уравнений связи, возникающих в бигравитации, путем вычисления скобок Пуассона между связями и гамильтонианом. Основными гравитационными переменными являются две индуцированные на гиперповерхностях пространства метрики и сопряженные им импульсы, кроме того, в формализме в качестве вспомогательных переменных присутствуют функции смещения и сдвига обеих метрик. После этого исключения 3-х вспомогательных переменных остается набор из 4-х связей первого рода, порождающих диффеоморфизмы пространства-времени, относительно которых бигравитация инвариантна, и 2-х связей второго рода, исключающих духовую степень свободы. Получены следующие требования к потенциалу: 1) потенциал удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно всех своих аргументов; 2) потенциал удовлетворяет однородному уравнению Монжа-Ампера относительно 4-х вспомогательных переменных; 3) гессиан потенциала относительно 3-х вспомогательных переменных не вырожден.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(1):105-116
pages 105-116 views

Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда

Широков Д.С.

Аннотация

В работе рассмотрены выражения в вещественных и комплексных алгебрах Клиффорда, называемые свертками или усреднениями. Свертка берется от произвольного элемента алгебры Клиффорда, при этом ведется суммирование по различным элементам фиксированного базиса алгебры Клиффорда. Рассмотрены четные и нечетные свертки, свертки по рангам и свертки по кватернионным типам. Представлена связь сверток с операциями проецирования на выделенные подпространства алгебры Клиффорда - четное и нечетное подпространство, подпространства фиксированных рангов и подпространства фиксированных кватернионных типов. С помощью метода сверток дано решение различных систем коммутаторных уравнений в алгебрах Клиффорда. Особое внимание уделено двум частным случаям - случаям коммутатора и антикоммутатора. Полученные результаты могут применяться при изучении различных уравнений теории поля - уравнений Янга-Миллса, простейшего полевого уравнения и других.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(1):117-135
pages 117-135 views

Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка

Юлдашев Т.К.

Аннотация

Изучены вопросы разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка, левая часть которого является суперпозицией псевдопараболического и псевдогиперболического операторов четвертого порядка. Обоснована применимость метода Фурье разделения переменных при изучении смешанной и обратной задач для нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка. С помощью метода разделения переменных смешанная задача сведена к изучению счетной системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Использование заданного интегрального условия привело к изучению нелинейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода относительно второй неизвестной функции (относительно функции восстановления). С помощью неклассического интегрального преобразования однозначное восстановление второй неизвестной функции сведено к изучению однозначной разрешимости нелинейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода. В результате получена система из двух нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно двух неизвестных функций. Эта система однозначно разрешена с помощью метода последовательных приближений. Далее изучена устойчивость решений смешанной и обратной задач относительно начальных и дополнительно заданных функций.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(1):136-154
pages 136-154 views

О парадигме внутренней турбулентности

Яковлев Н.Н., Лукашев Е.А., Радкевич Е.В., Палин В.В.

Аннотация

Статья посвящена проблемам реконструкции начальной стадии внутренней турбулентности (без учета граничных эффектов). Введением вязкости и диффузионного расслоения проводится нестандартная регуляризация многокомпонентной системы Эйлера. Для нее получены аналог условия Гюгонио и аналог условия устойчивости Лакса. Исследована проблема локальной достижимости точек фазового пространства. Построены бифуркации однофронтовых решений усеченной системы Эйлера в двухфронтовые решения. Показан сверхзвуковой характер появления бифуркаций. Построена реконструкция начальной стадии внутренней турбулентности (без учета граничных эффектов), включая математическое описание возникновения двухскоростного режима (катастрофа Римана-Гюгонио) и перемежаемости.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(1):155-185
pages 155-185 views

Гиперболические теории и задачи механики континуума

Радаев Ю.Н., Ковалев В.А.

Аннотация

Рассматриваются теории и задачи той части термомеханики континуума, которая не может быть корректно сформулирована вне рамок гиперболических уравнений и систем таких уравнений. При этом внимание сфокусировано на двух относительно новых гиперболических теориях: теории трёхмерного идеально пластического течения и теории микрополярной термоупругости второго типа (type-II thermoelasticity). Исследуются трёхмерные статические и кинематические уравнения теории идеальной пластичности Ишлинского-Ивлева с точки зрения их аналитической классификации, определения характеристических направлений и возможных подходов к построению интегрируемых соотношений. Новые подходы к гиперболическим формулировкам связываются с введением дополнительных базисных переменных, когда допустимыми признаются не только термодинамические переменные состояния (так называемые «медленные переменные»), ассоциированные с термическими и микроструктурными свойствами континуума, но и их референциальные градиенты («быстрые переменные»). Развивается гиперболическая термомеханика микрополярных термоупругих сред на основе теоретико-полевой схемы и с помощью вариационного функционала действия и принципа наименьшего действия.
Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2015;19(1):186-202
pages 186-202 views

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах