Том 19, № 1 (2015)

Хорошо известно, что естественно возникающее из вариационных принципов и удобное в применении понятие обобщённого решения из соболевского пространства $W_2^1$ задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка не является в буквальном смысле обобщением понятия классического решения: не любая непрерывная на границе области функция является следом функции из $W_2^1$. Обобщение обоих этих понятий было предложено в 1976 году Валентином Петровичем Михайловым, памяти которого посвящена настоящая работа. В определении Михайлова граничное значение решения берется из $L_2$; естественно обобщается это понятие и на случай граничной функции из $L_p$, $p > 1$. Впоследствии автором настоящей работы было доказано, что при выполнении не слишком обременительных условий такие решения обладают свойством $(n - 1)$-мерной непрерывности. Это свойство аналогично классическому определению равномерной непрерывности, но вместо значения функции в точке следует рассматривать её следы на мерах из специального класса, немного более узкого, чем класс мер Карлесона. След функции на мере является элементом пространства $L_p$ по этой мере. $(n - 1)$-мерная непрерывность означает, что следы на мерах близки, если близки эти меры. Определение близости мер учитывает близость (в специальном смысле) их носителей, а расстояние между следами (они элементы различных пространств) вводится с помощью погружения в пространство функций удвоенного числа переменных. Свойство $(n - 1)$-мерной непрерывности позволило дать другое, по форме весьма близкое к классическому определение решения - $(n - 1)$-мерно непрерывное решение. Как и понятия классического и обобщённого решений оно не требует условий гладкости границы рассматриваемой области. В отличие от случаев классического и обобщённого решений задача Дирихле в постановке Михайлова и тем более с $(n - 1)$-мерно непрерывным решением исследована недостаточно полно. Прежде всего это относится к условиям на правую часть уравнения, при которых задача Дирихле разрешима. В работе приведён ряд новых результатов в этом направлении. Кроме того, обсуждаются условия на коэффициенты уравнения, границу ограниченной области, в которой рассматривается задача, и заданные граничные значения решений. При этом результаты о разрешимости и о граничном поведении решений сравниваются с аналогичными теоремами, относящимися к случаю классического и обобщённого решений, обсуждаются некоторые возникающие при таком сравнении нерешённые задачи.

Получено решение кратной интерполяционной задачи Валле Пуссена оператора обобщенной свертки. Основное внимание уделено доказательству секвенциальной достаточности множества решений характеристического уравнения оператора обобщенной свертки. В обобщенном пространстве Баргмана-Фока сопряженным оператором к оператору умножения на переменную $z$ является оператор обобщенного дифференцирования. С помощью этого оператора вводятся операторы обобщенного сдвига и обобщенной свертки. С применением цепочки эквивалентных утверждений получено, что кратная интерполяционная задача Валле Пуссена разрешима тогда и только тогда, когда сюръективна композиция оператора обобщенной свертки с умножением на фиксированную целую функцию $\psi(z)$. Нули функции $\psi(z)$ являются узлами интерполяции. Сюръективность композиции оператора обобщенной свертки с умножением сводится к доказательству секвенциальной достаточности множества нулей характеристической функции оператора обобщенной свертки в множестве решений обобщенного оператора свертки с характеристической функцией $\psi(z)$. При доказательстве секвенциальной достаточности возникла необходимость рассмотрения отношений собственной функции при различных значениях $\mu_i$. Собственные функции с большим значением $\mu_i$ уходят на бесконечность быстрее, нежели собственные функции с меньшим значением при $z$, стремящимся к бесконечности. При одинаковых значениях $\mu_i$ производная собственной функции большего порядка уходит на бесконечность быстрее, чем производная меньших порядков. Существенную роль играет тот факт, что ядро оператора обобщенной свертки с характеристической функцией $\psi(z)$ представляет конечную сумму собственных функций и ее производных. С использованием разложения Фишера, теоремы Дьедонне-Шварца и теоремы Майкла о существовании непрерывного правого обратного получено, что если нули характеристической функции оператора обобщенной свертки расположены на положительной вещественной оси в порядке возрастания, то кратная интерполяционная задача Валле Пуссена разрешима в узлах интерполяции.

Рассмотрен случайный процесс на границе конечного регулярного дерева, помещённого во внешнее центрально-симметричное поле, относительно введённой ультраметрики. Показана процедура сведения этой задачи к задаче меньшей размерности. Также рассматривается случай предельно сильного поля, который удаётся решить аналитически. Приводятся решение для частного случая линейного роста иерархии барьеров переходов и оценка кинетики перехода в основное состояние.

В работе рассмотрены выражения в вещественных и комплексных алгебрах Клиффорда, называемые свертками или усреднениями. Свертка берется от произвольного элемента алгебры Клиффорда, при этом ведется суммирование по различным элементам фиксированного базиса алгебры Клиффорда. Рассмотрены четные и нечетные свертки, свертки по рангам и свертки по кватернионным типам. Представлена связь сверток с операциями проецирования на выделенные подпространства алгебры Клиффорда - четное и нечетное подпространство, подпространства фиксированных рангов и подпространства фиксированных кватернионных типов. С помощью метода сверток дано решение различных систем коммутаторных уравнений в алгебрах Клиффорда. Особое внимание уделено двум частным случаям - случаям коммутатора и антикоммутатора. Полученные результаты могут применяться при изучении различных уравнений теории поля - уравнений Янга-Миллса, простейшего полевого уравнения и других.

Статья посвящена проблемам реконструкции начальной стадии внутренней турбулентности (без учета граничных эффектов). Введением вязкости и диффузионного расслоения проводится нестандартная регуляризация многокомпонентной системы Эйлера. Для нее получены аналог условия Гюгонио и аналог условия устойчивости Лакса. Исследована проблема локальной достижимости точек фазового пространства. Построены бифуркации однофронтовых решений усеченной системы Эйлера в двухфронтовые решения. Показан сверхзвуковой характер появления бифуркаций. Построена реконструкция начальной стадии внутренней турбулентности (без учета граничных эффектов), включая математическое описание возникновения двухскоростного режима (катастрофа Римана-Гюгонио) и перемежаемости.