Том 26, № 2 (2022)

10 февраля 2022 г. исполнилось 60 лет известному ученому в области механики деформируемого твердого тела и прикладной математики, педагогу, организатору науки и высшего образования в России Юрию Николаевичу Радаеву. В статье приведены основные библиографические данные Ю. Н. Радаева, в краткой форме представлены главные научные направления и результаты научной деятельности по фундаментальным проблемам математической теории пластичности, механике растущих тел и рассеянного накопления поврежденности, теории трещин, микрополярной упругости, связанной гиперболической термоупругости и термомеханике, общим математическим вопросам механики сплошных сред, механике сыпучих и гранулированных сред.

Рассматривается уравнение параболического типа (уравнение переноса-диффузии), которое используется, например, в задачах распространения загрязняющих веществ в атмосферном воздухе или водной среде. Имеется нескольких классических методов решения этого параболического уравнения, но также хорошо известно и вероятностное представление решения уравнения переноса-диффузии. Поскольку плотность распределения винеровского процесса соответствует ядру уравнения теплопроводности, с использованием ядра теплопроводности и оператора переноса на каждом шаге дискретизации времени можно построить приближенные решения уравнения переноса-диффузии в ${\mathrm{ℝ}}^d$. В предыдущих работах была доказана равномерная сходимость этих приближенных решений к функции, удовлетворяющей уравнению переноса-диффузии и начальному условию. Так как эти приближенные решения определяются только интегральным оператором и оператором переноса, доказательство их сходимости проводится без использования вероятностных понятий. В данной работе рассматривается уравнение переноса-диффузии в полуплоскости ${\mathrm{ℝ}}_{+}^2$ с граничным условием на $\{x_2=0\}$  и доказывается сходимость приближенных решений, построенных ядром теплопроводности и оператором переноса, к функции, удовлетворяющей уравнению переноса-диффузии в ${\mathrm{ℝ}}_{+}^2$, начальному и граничному условиям. Для получения этого результата, используется метод нечетного продолжения заданных в ${\mathrm{ℝ}}_{+}^2$ функций на ${\mathrm{ℝ}}^2$, поэтому применяются технические приемы предыдущих работ для задач в ${\mathrm{ℝ}}^d$. Тем не менее из-за наличия граничного условия остается проблема гладкости приближенных решений, для разрешения которой получаются оценки для производных приближенных решений, на которые влияют особенные данные на $\{x_2=0\}$.

В данной статье для дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка с оператором Бесселя в прямоугольнике сформулирована начально-граничная задача. На основе метода разделения переменных к поставленной задаче получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка. Доказана самосопряженность последней задачи, откуда следует существование системы ее собственных функций, а также ортонормированность и полнота этой системы. Далее исследованы равномерная сходимость некоторых билинейных рядов и порядок коэффициентов Фурье, зависящих от найденных собственных функций. Решение изучаемой задачи найдено в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Доказана равномерная сходимость этого ряда, а также рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Методом спектрального анализа доказана единственность решения задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

Для описания механизмов и условий проявления эффекта деформационной памяти (эффекта Кайзера) в горных породах, подвергающихся трехмерному непропорциональному циклическому нагружению с изменением ориентации и формы эллипсоида Ламе, проведены эксперименты с кубическими образцами из полимиктового песчаника на Испытательной системе трехосного независимого нагружения с непрерывной записью сигналов акустической эмиссии. Результаты непропорционального трехосного сжатия по разработанной 9-цикловой программе нагружения показали, что доминирующим механизмом проявления эффекта памяти повреждений в каждом определенно ориентированном ансамбле дефектов является развитие микротрещин нормального отрыва, ориентированных субнормально к направлению минимального главного напряжения. Было обнаружено, что проявление эффекта Кайзера определяется не столько фактом раскрытия существующих «благоприятно» ориентированных микротрещин, сколько их дискретным ростом и появлением новых дефектов. Полученные экспериментальные результаты могут рассматриваться в качестве триггера для развития моделей деформирования и разрушения горных пород, учитывающих анизотропную природу и ориентационные эффекты развития поврежденности при различных сложных напряженно-деформированных состояниях и реальных условиях трехосного непропорционального нагружения, которые наблюдаются в природных и антропогенных системах.

Рассмотрен новый итерационный алгоритм для решения задач полных наименьших квадратов. Предложен новый вариант неявного метода простых итераций на основе сингулярного разложения для решения смещенной нормальной системы алгебраических уравнений. Применение неявного метода простых итераций на основе сингулярного разложения позволяет заменить плохо обусловленную задачу на последовательность задач с лучшей обусловленностью. Это дает возможность существенно повысить вычислительную устойчивость алгоритма и при этом обеспечивает высокую скорость его сходимости. Тестовые примеры показали, что предложенный алгоритм обладает более высокой точностью по сравнению с решениями, полученными нерегуляризированными алгоритмами полных наименьших квадратов, а также с решением полных наименьших квадратов с регуляризацией по Тихонову.

Проведено сравнение результатов математического моделирования внешнего обтекания горизонтально-осевой ветроэнергетической установки Siemens модели SWT–3.6–120 (профиль лопасти B52) с применением осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье–Стокса, замкнутых моделями турбулентности k−ε, k−ω Shear Stress Transport и Eddy Viscosity Transport. Задача верного определения угла отклонения вектора скорости над гондолой ветроэнергетической установки обусловлена работой системы ориентации, от которой зависит эффективность всей установки. В качестве критерия сравнения выбрано число Струхаля, определенного для поперечного обтекания цилиндра, описывающего частоту формирования вихревой структуры за комлевой частью лопасти ветроэнергетической установки. Расчетная область состоит из трех миллионов тетраэдрических элементов с призматическим слоем на поверхности гондолы с применением локального измельчения. Место регистрации параметров направления потока расположено на высоте 3 м над гондолой и на расстоянии 8 м от комлевой части лопасти, что соответствует стандартному расположению анеморумбометра. Анализ полученных результатов показал, что модели турбулентности k−ε и Eddy Viscosity Transport практически одинаково описывают параметры потока над гондолой ветроэнергетической установки, но модель Eddy Viscosity Transport имеет одно дифференциальное уравнение, тем самым ее применение является более предпочтительным по критерию вычислительных затрат. Преимущество модели Eddy Viscosity Transport также заключается в меньшем количестве замыкающих полуэмпирических констант, анализ которых позволяет расширить область применения инженерных методик описания турбулентных процессов для решения практических задач, связанных с проектированием систем управления ветроэнергетическими установками, повышающих коэффициент полезного действия таких установок.

Исследуется обратная задача об источнике для уравнения смешанного типа с дробным уравнением диффузии в параболической части и волновым уравнением в гиперболической части цилиндрической области. Решение задачи получено в виде ряда Фурье–Бесселя с использованием ортогонального множества функций Бесселя. Доказаны теоремы единственности и существования решения.

 Рассмотрена нелокальная задача с интегральными условиями для параболического уравнения. Доказана ее однозначная разрешимость в пространстве Соболева. Доказательство единственности решения и его существования базируется на выведенных в работе априорных оценках. Отмечена связь заданных нелокальных условий с условиями В. А. Стеклова и интегральными условиями I рода, что дало основание интерпретировать рассматриваемую задачу как задачу с возмущенными нелокальными условиями В. А. Стеклова. Обращено внимание на классы задач, в том числе обратных, для изучения которых полученные в статье результаты могут оказаться полезными.