Том 16, № 3 (2012)

Рассматриваются вопросы обобщённой разрешимости обратной задачи для нелинейного дифференциального уравнения с псевдопараболическим оператором высокого порядка. Используется метод разделения переменных. Смешанная задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, а обратная задача — к системе интегральных уравнений Вольтерра. Доказана однозначная разрешимость и устойчивость решения обратной задачи.

Доказано существование единственного решения неклассической краевой задачи для уравнения теплопроводности, нагруженного значением искомой функции $u(x, y)$ на границе $x=0$ прямоугольной области $\Omega= \{ (x, t) : 0$ < $x$ < $l$, $0$ < $t$ < $T \}$. Одно из краевых условий исследуемой задачи содержит обобщённый оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле М. Сайго. Используя свойства функции Грина смешанной краевой задачи и указанное краевое условие, можно свести задачу к интегральному уравнению вольтерровского типа относительно следа искомой функции $u(0, t)$. Показано, что полученное уравнение является интегральным уравнением Вольтерра второго рода со слабой особенностью в ядре, которое однозначно и безусловно разрешимо. Основной результат приведён в виде теоремы. Рассмотрен один частный случай, когда обобщённый оператор дробного интегро-дифференцирования М. Сайго в краевом условии сводится к оператору Кобера—Эрдейи. Обосновано существование единственного решения краевой задачи в этом случае.

Предложена нелинейная стохастическая модель одноосной ползучести и длительной прочности, которая учитывает все три стадии деформирования. Разработана методика идентификации случайных параметров модели по серии экспериментальных кривых ползучести. Выполнена стохастическая линеаризация модели, которая позволила аналитически оценить вероятность безотказной работы растягиваемого стержня по деформационному критерию. Выполнена проверка адекватности разработанного подхода экспериментальным данным по ползучести стержневых образцов из стали 12Х18Н10Т при температуре 850~$^\circ$C. Выполнено обобщение разработанного подхода для описания деформирования элементов конструкций в терминах «обобщённая нагрузка, обобщённое перемещение, время». Конструктивный элемент рассматривается как единое целое (специфический образец, хотя и сложной структуры). Установлена полная аналогия между кривыми ползучести одноосного образца и обобщёнными кривыми ползучести в координатах «обобщённое перемещение – время» при фиксированных значениях обобщённого перемещения для конструктивного элемента. На основе этой аналогии предложена обобщённая стохастическая модель реологического деформирования элементов конструкций. Разработана методика оценки надёжности элементов конструкций в условиях ползучести по параметрическим критериям отказа, реализованная в модельном примере ползучести толстостенной трубы под действием внутреннего давления. Приведены результаты расчётов и даны рекомендации по назначению ресурса.

Аналитически исследована эволюция пространственных диссипативных структур, возникающих в биофизической системе реакционно-диффузионного типа во внешних шумах. Изучены поведение плотности вероятности параметра порядка, его среднего и наиболее вероятного значений, а также восприимчивости и кумулянта второго порядка в зависимости от интенсивности внешнего шума в статистически стационарном состоянии. Определена граница перехода «порядок – беспорядок». Показано, что в рассматриваемой системе возникает последовательность шумоиндуцированных упорядочивающего и разупорядочивающего переходов.

Рассматривается численный метод определения параметров математических моделей в форме дробно-рациональных функциональных зависимостей. В основе метода лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений. Такой подход к решению задачи идентификации дробно-рациональных функциональных зависимостей позволяет обеспечить высокую адекватность построенной математической модели и, как следствие, добиться высокой точности оценивания её параметров.

Сложные аналитические решения задач циклического контактного теплообмена в форме систем интегральных уравнений приведены к критериальному виду и экономным численным анализом преобразованы в полиномиальные модели на основе применения методологии планирования эксперимента. Аппроксимация искомых функций осуществлялась по дискретным точкам с использованием формул Бонне. Вычисления показали достаточно быструю сходимость приближений и в практических расчётах, как правило, использовалось 7–11 итераций. Получены 13 критериальных уравнений регрессионного типа, содержащие наиболее важные и разнородные по составу и структуре образования характеристики квазиустановившейся стадии циклического контактного теплообмена. Оценка адекватности моделей выполнена с помощью множественного коэффициента корреляции

Описан аналитический метод решения волнового уравнения с условиями, заданными на движущихся границах. С помощью замены переменных в системе функциональных уравнений исходная краевая задача сведена к системе разностных уравнений с одним постоянным смещением, которая может быть решена с помощью интегрального преобразования Лапласа. Получено выражение для амплитуды колебаний, соответствующих n-ной динамической моде в случае граничных условий первого рода. Данный метод позволяет рассмотреть более широкий класс граничных условий по сравнению с другими аналитическими методами решения краевых задач с движущимися границами.

Доказывается, что компонент суммы взвешенных одинаковых степеней натуральных чисел, зависимый от весовых коэффициентов, равен сумме произведений биномиальных и весовых коэффициентов. Также доказывается, что компонент этой суммы, независимый от весовых коэффициентов, является алгебраической суммой произведений биномиальных коэффициентов и степеней натуральных чисел. Явное комбинаторное представление суммы взвешенных одинаковых степеней содержит величины, берущиеся из доказанных равенств.

В работе исследуется корректная по Адамару постановка характеристической задачи для гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка общего вида с некратными характеристиками. Решение указанной задачи построено в явном виде. Приведён иллюстративный пример некорректности по Адамару классической постановки задачи Гурса для гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка общего вида с некратными характеристиками.

Рассматриваются задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными по фазовой переменной нелинейностями. Исследуется характер разрывов нелинейности в таких задачах. В отличие от работ других авторов, в данной статье ослаблены ограничения на точки разрыва нелинейности.

С помощью соотношений реологической модели вязкоупругой среды, предусматривающей учёт эффектов разупрочнения материала, описано поведение древесного пластика ДСП-Г. Найдено значение предела длительного сопротивления материала, соответствующего границе устойчивого (асимптотически ограниченная ползучесть) и неустойчивого (появление третьей стадии ползучести) деформирования. Выполнено сравнение расчётных и экспериментальных данных по ползучести и данных по пределу длительного сопротивления. Наблюдается соответствие расчётных и экспериментальных данных.

На основе численного решения уравнений газодинамики неравновесной среды исследовано проникновение ударной волны в область неравновесного газа. Наблюдалось расщепление фронта ударной волны на ударную и тепловую волны, что качественно совпадает с экспериментальными результатами А. И. Климова.

Проведено исследование эволюции орбиты астероида 2012 DA14 на интервале времени с 1800 по 2206, выявлены тесные сближения объекта с Землёй и Луной, вычислены вероятности столкновения с Землёй. Используемая математическая модель согласована с DE405, интегрирование проводилось при помощи модифицированного метода Эверхарта 27-го порядка, вероятность столкновения вычислена при помощи метода Монте—Карло.