Том 14, № 2 (2010)

Обсуждается проблема корректной постановки задач с начальными данными для дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля функций одного действительного аргумента. Приведён пример простейшего линейного однородного дифференциального уравнения с двумя дробными производными. Продемонстрировано влияние требования суммируемости старшей производной на величину порядка младшей производной или начальные значения в условиях типа Коши. Введён специальный класс функций, допускающий несуммируемость старшей производной, в котором обоснована корректность видоизменённой задачи типа Коши и начальных задач с локально-нелокальными условиями.

Рассматривается однородная задача термоконвекции несжимаемой вязкоуиругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка. Проведенное исследование основано на результатах теории полулинейных уравнений Соболевского типа, поскольку первая начально-краевая задача для соответствующей системы дифференциальных уравнений в частных производных сводится к абстрактной задаче Коши для указанного уравнения. При этом используется понятие р-секториалъного оператора и порожденной им разрешающей полугруппы операторов задачи Коши для линейного однородного уравнения Соболевского типа. Доказана теорема существования единственного решения рассматриваемой задачи термоконвекции, являющегося квазистационарной полутраекторией. Получено полное описание фазового пространства этой задачи.

Решена задача об определении остаточных напряжений в полосе после её прокатки в одной клети прокатного стана. Показано, что наряду с продольными остаточными напряжениями, которые являются основной причиной возникновения дефектов геометрии полосы типа волнистости или коробоватости, в полосе существуют и поперечные остаточные напряжения, которые способствуют расслоению многослойных полос. Разработана качественная модель расслоения двухслойной полосы под действием поля растягивающих поперечных остаточных напряжений при условии равенства механических свойств материалов полос. Установлена причина скачкообразного (внезапного) расслоения, а также показано, что при отсутствии разрушения (расслоения) сцепляющей полосы слой может быть существенно ослаблен.

Излагается процедура вычисления критического времени выпучивания оболочек при ползучести с использованием вариационного уравнения Ю. Н. Работнова. Приводится сравнение критических времен для подкрепленных оболочек, вычисленных с использованием трехслойной модели оболочки, с экспериментальными данными и результатами других авторов.

С использованием разложения компонент вектора перемещений по окружной и радиальной координатам в тригонометрические и обобщенные степенные ряды получено новое точное аналитическое решение задачи о равновесии толстостенного полого тяжёлого трансверсально-изотропного тела с центральной симметрией, жёстко скрепленного по внутреннему контуру и находящегося под действием равномерного внешнего давления. Из полученного решения в частном случае следуют выражения для напряжений, деформаций и перемещений в точках полой тяжёлой изотропной сферы. В качестве примера на основе многокритериального подхода, описывающего различные реальные механизмы разрушения анизотропных тел с центральной симметрией, проведена оценка начальной прочности монолитной железобетонной сферы.

Представлено автомодельное решение задачи о развитии трещины гидроразрыва пласта. Предполагается, что трещина ориентирована вертикально и исследование процесса ее развития проводится в рамках связанной задачи теории гидродинамики (течение вязких жидкостей) и линейной теории упругости (движение хрупких трещин). Найдены асимптотики автомодельного решения при больших и малых расстояниях от вершины трещины, предложены простые ап-прокимации решения во всем диапазоне изменения переменных.

Рассматривается численный метод определения параметров дифференциального оператора для систем с турбулентным трением. В основе метода лежат среднеквадратичное оценивание коэффициентов стохастических разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений импульсной характеристики системы. Представлены результаты численно-аналитических исследований предложенных математических моделей и алгоритмов вычислений на их основе. Эти результаты подтверждают высокую эффективность применения разработанного подхода к решению задач параметрической идентификации на основе разностных уравнений.

Представлены результаты математического моделирования процесса изготовления цилиндрической оболочки из слоистого материала на основе силикатного стекла. Рассмотрены задачи остывания композитной оболочки и осесимметричного деформирования в процессе её формирования. Полученные результаты свидетельствуют о возможности изготовления трёхслойных цилиндрических оболочек из стеклометаллокомпозита, которые могут использоваться для создания прочных корпусов глубоководной техники. Получены предельные значения остаточных напряжений на поверхностях сопряжения металлических обшивок со стеклянным слоем, которые существенно меньше пределов прочности соединяемых материалов композитной оболочки.

На основе использования метода разделения переменных и ортогонального метода Бубнова-Галёркина получено точное аналитическое решение гиперболического уравнения теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода. Показано, что прогрев (охлаждение) тела определяется движением фронта ударной тепловой волны, на котором происходит обрыв температурной кривой (скачок температуры). Фронт тепловой волны разделяет исследуемую область на две подобласти - возмущенную, где температура изменяется от температуры стенки (граничное условие первого рода) до температуры на фронте волны, и невозмущенную, на всем протяжении которой температура равна начальной температуре.

Построено замкнутое решение задачи об осесимметричпых колебаниях спирально-многослойного неоднородного цилиндра с учётом сил вязкого сопротивления. Цилиндр формируется навивкой предварительно натянутой по произвольному закону металлической ленты на упругоподатливую оправку. Анализируется спектр круговых частот свободных осесимметричпых колебаний.

Рассмотрены свойства графа задачи оптимального вложения дополнительного ограниченного ресурса для сокращения критического пути сетевого проекта при неоднородном изменении разметки дуг орграфа проекта. Предложен алгоритм построения графа проекта по заданной матрице предшествования работ. Разработан алгоритм сокращения списков технологического предшествования работ проекта до списков непосредственного предшествования путём правильного упорядочивания. Приведены примеры добавления фиктивных работ и указан приём минимизации необходимого числа фиктивных работ для упрощения графа проекта. Показано, что, по крайне мере, с добавлением фиктивных работ граф проекта может быть построен.

Изучено влияние многоцикловых усталостных испытаний и температурных выдержек на характеристики шероховатости и микротвёрдости цилиндрических образцов из сплавов Д16Т и В95, предварительно упрочнённых пневмодро-беструйной обработкой. Установлено, что поверхностно-пластическое упрочнение значительно влияет на рост микротвёрдости по сравнению с неупрочнённым образцом. После температурных выдержек происходит падение микротвёрдости до значений, соответствующих неупрочнённому образцу. Поверхностное упрочнение повышает параметры шероховатости слоя, а дальнейшая температурная выдержка и усталостные испытания не оказывают влияние на данные параметры. Приведены результаты экспериментальных измерений в виде таблиц и графиков.

Рассматривается обобщение интегро-дифференциалъного оператора Римана-Лиувилля на матричный порядок и изучаются его свойства. Доказываются теоремы о композициях операторов матричного интегрирования и дифференцирования. Находятся необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости матричного уравнения Абеля в специальном классе функций.

Известно, что дифференциальные уравнения с оператором $\partial^3/{\partial x \partial y, \partial z)$ используются при изучении процессов, связанных с явлениями вибрации и другими задачами механики, а также играют существенную роль в теории аппроксимации и отображений. В настоящей работе для полного гиперболического уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами в трёхмерном евклидовом пространстве методом Римана найдено в явном виде единственное решение смешанной задачи, которое затем значительно упрощается за счет интегрального представления одного из краевых условий. В силу этого оно может быть использовано для постановки и решения новых краевых задач.

Установлены необходимые и достаточные условия единственности решения краевой задачи для нагруженного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области. Решение поставленной задачи построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной задачи на собственные значения.

С помощью метода первоначальных деформаций изучены закономерности распределения остаточных напряжений в поверхностно упрочнённых плоских деталях с V-образными надрезами при различных значениях их геометрических параметров. Установлено, что толщина деталей и глубина надрезов оказывают существенное влияние на характер распределения остаточных напряжений в области надрезов.

Рассмотрена задача о колебаниях гибкого звена, обладающего изгибной жесткостью, в случае, когда одна из опор представляет собой ролик или шкив. При колебаниях точка касания звена перемещается по опоре. Движение точки касания зависит от колебательного процесса, что делает задачу нелинейной. С помощью разложения функции, описывающей колебания, в ряд вблизи точки касания получены граничные условия, имеющие место при взаимодействии звена и опоры. Произведена оценка зависимости частоты колебаний от амплитуды. Указано, что при малой амплитуде колебаний граничные условия можно записать в виде равенства нулю угла наклона и смещения гибкого звена. Погрешность при использовании таких граничных условий возрастает при увеличении амплитуды.

Разрабатывается направление получения приближенных аналитических решений краевых задач математической физики, основанное на использовании дополнительных граничных условий, позволяющих в модельном (апроксимационном) представлении аналитического решения определять любое число его слагаемых и таким образом получать решения с заданной степенью точности. Физический смысл дополнительных граничных условий состоит в выполнении основного дифференциального уравнения и производных от него различного порядка в граничных точках области, что приводит к выполнению уравнения и внутри области с точностью, зависящей от числа приближений.

Деформированные медные образцы были отожжены при различной температуре. Это приводило к формированию в них различной плотности дислокаций. Приготовленные образцы использовались в качестве анодов при электролизе в сернокислом электролите. Электролиз проводился при напряжении 10 мВ. Эксперимент показал, что повышение плотности дислокаций приводит к повышению плотности анодного тока. Было обнаружено, что по этой причине анодный ток может увеличиваться в 2,5 раза. Данный факт можно объяснить тем, что дислокации снижают потенциальный барьер при переходе ионов меди из кристаллической решетки в электролит.

Рассматривается итерационный проекционный алгоритм решения некорректных систем линейных алгебраических уравнений. Данный алгоритм основан на преобразовании регуляризованной нормальной системы уравнений к эквивалентной расширенной регуляризованной нормальной системе уравнений. Предлагаемый алгоритм позволяет эффективно решать некорректные задачи большой размерности.

Анонсируется разрабатываемый программный комплекс Strelax, предназначенный для расчёта релаксации остаточных напряжений в поверхностно упрочнённом слое элементов конструкций в условиях ползучести. Описывается блок комплекса по обработке экспериментальных данных, который позволяет рассчитать поля остаточных напряжений и деформаций в упрочнённом слое конструкции (на примере цилиндрических образцов) после деформационного упрочнения по одной или двум экспериментально замеренным компонентам остаточных напряжений, а также найти параметры наилучшей аппроксимации для этих компонент.