Том 16, № 2 (2012)

Рассматривается неавтономная система обыкновенных дифференциальных уравнений, для которой вводится в рассмотрение функция плотности вероятности распределения ансамбля изображающих точек Гиббса, обладающая всеми свойствами, характерными для функции плотности вероятности, а также удовлетворяющая уравнению в частных производных первого порядка (уравнению Лиувилля). Показано, что такая функция плотности вероятности распределения существует и является единственным решением задачи Коши для уравнения Лиувилля. Рассматриваются свойства интегральной кривой и решения неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Показано, что при определённых предположениях движение вдоль траекторий системы осуществляется по максимуму функции плотности вероятности распределения, т.е. при выполнении всех требуемых условий интегральная кривая неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в любой момент времени является наиболее вероятной траекторией движения последней. Для линейной неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений показано, что движение вдоль траекторий осуществляется по моде функции плотности вероятности распределения, и найдена оценка её решения.

Рассмотрена задача Коши для уравнения соболевского типа второго порядка. Введено определение относительной диссипативности пучка операторов, обобщено понятие диссипативности и относительной диссипативности оператора. Установлена связь с результатами теории аккретивных операторов. Согласно идеологии Келдыша, исходная задача редуцируется к задаче Коши для уравнения соболевского типа первого порядка. Приводятся результаты для исследуемой задачи.

Даются основные положения операторного исчисления, основанного на использовании алгебры свёртки обобщённых функций D+ и D− и позволяющего распространить этот метод на область отрицательных значений аргумента. Приводится связь между предложенным подходом и классическим операционным исчислением, построенным на преобразовании Лапласа.

Изучается возможность оценки механических характеристик материала на основе решения неклассических упругопластических задач для плоскости с отверстием. Предложенный экспериментально-аналитический метод определения характеристик материала основан на анализе перемещений контура кругового отверстия и размеров зон неупругих деформаций около него. Показано, что в зависимости от задания экспериментальных данных могут быть решены три задачи для оценки механических характеристик материала. Одна из таких задач рассмотрена применительно к механике горных пород. Проведён анализ решения этой задачи и приведены рамки его применимости. Показано, что подобный анализ может быть использован для определения характеристик как однородного, так и квазиоднородного материала.

Разработан и реализован метод расчёта релаксации остаточных напряжений в поверхностно упрочнённом слое кругового отверстия пластины в условиях ползучести при комбинированном действии статических и циклических нагрузок. На основании идей декомпозиции и агрегирования расчёт релаксации остаточных напряжений в поверхностном слое концентратора напряжений сводится к решению трёх задач и склейки их решений. В процессе решения первой задачи определяется трёхмерное распределение полей остаточных напряжений и пластических деформаций в упрочнённом слое кругового концентратора напряжений пластины. В процессе решения второй задачи определяется напряжённо-деформированное состояние пластины с круговым отверстием при ползучести без учёта поверхностного упрочнённого слоя. При решении третьей задачи исследуется релаксация остаточных напряжений в поверхностно упрочнённом слое концентратора напряжений, деформирующемся в режиме «жёсткого» нагружения при заданных значениях компонент тензоров деформаций, которые определяются из решения второй задачи. Выполнен численный анализ влияния величины амплитудного значения циклической составляющей на процесс релаксации остаточных напряжений, который позволяет сделать однозначный вывод об увеличении скорости релаксации остаточных напряжений в зависимости от циклической составляющей.

Рассматривается проблема устойчивости вычисления параметров затухающих апериодических процессов второго порядка на основе результатов наблюдений. Описывается численный метод определения параметров апериодического процесса второго порядка, в основе которого лежит итерационная процедура вычисления коэффициентов разностного уравнения. Получены неравенства, позволяющие с учётом априорно известных границ изменения параметров исследуемого апериодического процесса обеспечить устойчивость разностного уравнения. Сформулирована и доказана теорема о достаточном условии устойчивости системы нормальных уравнений при решении задачи среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Полученные результаты имеют важное практическое значение и могут быть использованы при выборе периода дискретизации экспериментальной кривой, описывающей наблюдаемый апериодический процесс второго порядка на выходе системы.

Рассматривается аналитическое выражение для нестационарного температурного поля в полубесконечном теле, нагреваемом круговым источником тепла, расположенным на свободной поверхности. Нестационарное поле температур выражается через гипергеометрические функции Аппеля и Сриваставы. Рассматриваются частные случаи нестационарного температурного поля, которые выражаются через функцию Кампе де Ферье. Полученные выражения позволяют сразу отделить стационарную часть температурного поля от нестационарной. Рассчитаны стационарные температурные поля, образуемые круговым и гауссовым источниками. Существенных количественных различий в этих полях не обнаружено.

Изучается проблема устойчивости нулевого решения одного класса существенно нелинейных разностных систем. Доказываются теоремы об устойчивости по неоднородному приближению. В качестве системы нелинейного приближения рассматриваются системы треугольного вида. Условия, при которых возмущения не нарушают устойчивости нулевого решения, формулируются в виде неравенств, устанавливающих связь между порядками возмущений и порядками однородности функций, входящих в систему нелинейного приближения.

Предложено многокомпонентное обобщение одномерной модели Вальраса-Маршала с функцией предложения, введённой Шананиным. Переход от точечной модели к распределённой осуществляется путём замены одного рынка системой связанных рынков, взаимодействующих посредством функции спроса. В рамках данной модели исследуются условия установления равновесия для рынка с ограниченной информацией. С помощью бифуркационного анализа показывается, что в определённой области параметров системы возникает пространственная неоднородность, качественно меняется сценарий перехода системы к хаосу и смещается положение точки бифуркации.

Разработан модифицированный алгоритм численного интегрирования уравнений движения небесных тел методом Эверхарта. Проведено исследование эффективности алгоритма для больших порядков аппроксимирующих формул. Показана высокая эффективность метода на примере совместного интегрирования уравнений движения больших планет, Луны, Солнца и малых тел Солнечной системы.

Изучается поведение толстостенного трубопровода в условиях водородной коррозии. Рассматривается модельный пример толстостенной трубы из стали 20 с участком локального прогрева. В качестве факторов нагружения в модельном примере использовались внутреннее и наружное давления водородсодержащей среды. Отмечается, что наибольшее влияние на время до разрушения оказывает величина внутреннего давления водородсодержащей среды. Также отмечается, что в области повышенных температур процесс обезуглероживания протекает быстрее.

Рассмотрен алгоритм получения точных аналитических решений задач термоупругости для многослойных конструкций в случае, когда упругие характеристики материала в пределах каждого слоя постоянны. Приведены решения конкретных задач термоупругости для двухслойного полого цилиндра со свободными от нагрузки поверхностями и неравномерным в пределах слоев температурным полем, а также задачи термоупругости для двухслойного полого цилиндра с нагрузкой на поверхности внутреннего слоя и закреплённой поверхностью наружного. Температурное состояние каждого из слоев задано в виде аналитической зависимости от пространственной переменной.