Том 29, № 1 (2025)

Данная работа посвящена исследованию обратной задачи определения ядра в многомерном интегро-дифференциальном псевдопараболическом уравнении третьего порядка. Исследование начинается с анализа прямой задачи с известной функцией ядра при рассмотрении начально-краевой задачи с однородными граничными условиями. Методом Фурье строится решение в виде ряда по собственным функциям задачи Дирихле для оператора Лапласа. Важной частью анализа является получение априорных оценок коэффициентов ряда через норму функции ядра, которые играют ключевую роль при изучении обратной задачи.
Для обратной задачи вводится условие переопределения, задающее значение решения в фиксированной точке пространственной области (точечное измерение). Эта формулировка сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Путем применения принципа сжимающих отображений Банаха в классе непрерывных функций с экспоненциально взвешенной нормой устанавливаются глобальная существование и единственность решения обратной задачи. Полученные результаты демонстрируют корректную разрешимость рассматриваемой проблемы.

Предложена трехмерная газодинамическая модель идеальной несжимаемой жидкости, в которой решение ищется в виде линейного поля скоростей с неоднородной деформацией. Постановка задачи дана как в эйлеровых, так и в лагранжевых переменных. Найдены точные решения для специальной матрицы линейности, обобщающие известные ранее решения. Получены уравнения мировых линий для этих решений, построены траектории движения частиц жидкости и исследована эволюция начального сферического объема частиц. Приведены уравнения поверхностей постоянного давления и проанализирована их динамика во времени. Основное внимание уделено анализу движения частиц идеальной несжимаемой жидкости и получению новых, более общих решений.

Представлены результаты исследования устойчивости круговых вертикальных слоистых цилиндрических оболочек, полностью заполненных неподвижной сжимаемой жидкостью, под воздействием гидростатической и внешней статической нагрузок. Поведение упругой конструкции и жидкой среды описано в рамках классической теории оболочек и уравнений Эйлера. Линеаризованные уравнения движения оболочки совместно с соответствующими геометрическими и физическими соотношениями сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно новых неизвестных. Акустическое волновое уравнение преобразовано к системе дифференциальных уравнений с использованием метода обобщенных дифференциальных квадратур. Решение сформулированной краевой задачи выполнено методом ортогональной прогонки Годунова и сведено к вычислению собственных частот колебаний. Для этой цели использовано сочетание пошаговой процедуры с последующим уточнением методом Мюллера. Достоверность полученных результатов подтверждена сравнением с известными численными решениями. Детально проанализированы зависимости критического внешнего давления от угла армирования для свободно опертых, жестко закрепленных и консольных двухслойных и трехслойных цилиндрических оболочек. Оценено влияние комбинированного статического давления на оптимальные углы армирования, обеспечивающие повышение границ устойчивости.

В рамках линейной теории упругости предложен новый подход к моделированию пространственного распределения областей повышенных деформаций земной коры, возникающих при подготовке землетрясений. Модель основана на системе дифференциальных уравнений Ламе, где источник землетрясения представлен в виде сосредоточенной системы сил, приложенных к точке упругого полупространства. Соответствующая прямая краевая задача решается с использованием функций Грина. В рамках модели для каждой точки поверхности земной коры вычисляются предсейсмические деформации, после чего определяется частота случаев, когда эти деформации превышают фоновые приливные.
Предложенный метод апробирован на данных каталога "The Global Centroid-Moment-Tensor Catalog" для Камчатки — одного из самых сейсмически активных регионов планеты. Проведено моделирование пространственного распределения повышенных предсейсмических деформаций за период 1976–2020 гг. Установлено, что области повышенных деформаций преимущественно локализуются вдоль линии основного разлома у побережья Камчатки.Максимумы относительных частот возникновения таких деформаций граничат с районами высокой плотности на-
селения. Анализ временной динамики выявил значительную вариативность: наблюдаются периоды как с высокими частотами повышенных деформаций (0.6–0.8), так и с низкими (0.1–0.2).
Разработанный подход позволяет исследовать области повышенных деформаций земной коры, возникающие при подготовке сильных землетрясений, и может быть использован для изучения предсейсмических аномалий в различных геофизических полях.

Представлена новая теоретическая модель стационарного переноса ионных компонентов соли через катионообменную мембранную систему. В отличие от существующих теоретических подходов, в предложенной модели модификация константы равновесия обусловлена не только градиентом электрического потенциала, но и пространственным распределением заряда. Анализ уравнения Пуассона подтверждает существенную зависимость кинетики диссоциации ионов от локальной плотности пространственного заряда в мембранной структуре.
Разработанная математическая модель, учитывающая указанную зависимость, позволяет достичь более точного описания диффузионно-миграционных процессов в катионообменных мембранах. Полученные результаты обеспечивают более корректное описание поведения ионных компонентов в стационарных условиях переноса, что имеет существенное значение для разработки перспективных мембранных материалов и технологических процессов. Предлагаемая модель может быть применена в различных технологических областях, использующих ионообменные мембранные системы, включая процессы водоочистки и энергетические преобразователи.
Важным преимуществом предложенной модели является возможность комплексного учета ключевых параметров ионного транспорта, включая ионную силу раствора, температурные условия и структурно-функциональные характеристики мембраны. Это обеспечивает более точное прогнозирование эксплуатационных характеристик мембранных систем в реальных технологических процессах.
В частности, применение данной модели в системах мембранной очистки воды позволяет оптимизировать процессы деминерализации, что способствует повышению эффективности очистки водных сред и снижению энергетических затрат технологического цикла.
Таким образом, разработанная модель предоставляет новые возможности для фундаментального исследования и практической оптимизации процессов массопереноса в системах с ионообменными мембранами.

Трижды периодические поверхности (ТПП) и их минимальные аналоги (ТПМП) в настоящее время активно применяются в различных областях, таких как механика, биомеханика, аэродинамика, гидродинамика и радиофизика. В связи с этим возникает задача установления корреляций между тополого-геометрическими свойствами поверхностей и их физическими характеристиками. Для решения данной задачи необходимо ввести меру сходства между поверхностями, обладающими различными тополого-геометрическими свойствами. Настоящая работа посвящена описанию ТПП и ТПМП в терминах метрического пространства дескрипторов. Решение задачи осуществляется с использованием математического аппарата теории распознавания изображений. Построен дескриптор на основе совокупности собственных векторов и собственных значений оператора Бельтрами–Лапласа, а также совместной байесовской модели. В пространстве дескрипторов введена метрика, основанная на вероятностной мере сходства поверхностей. Работоспособность разработанного метода проверена на 51 поверхности класса P. Точность предсказания типа поверхности составила 92.8 %. Разработанная модель машинного обучения позволяет определить принадлежность произвольной поверхности к классу P-поверхностей.

Представлен алгоритм и разработанная на его основе программа, реализующая методы математического моделирования для анализа спектральных данных, построения прогностической модели и выбора оптимальных спектральных интервалов при проектировании мультисенсорных систем на основе светодиодов. Алгоритм прошел апробацию на реальных смесях водных растворов неорганических солей.
Для обработки экспериментальных данных применялись методы многомерной калибровки, включая PLS-регрессию и множественную линейную регрессию. Информативные длины волн определялись с использованием значений вектора Шепли, после чего методом перебора была найдена оптимальная комбинация спектральных интервалов.
Разработанная модель позволяет прогнозировать состав двух- и трехкомпонентных систем в водных растворах солей металлов с использованием ограниченного спектрального диапазона вместо полного видимого спектра. Проведенная кроссвалидация продемонстрировала сопоставимое качество новой модели по сравнению с полноспектральными аналогами, подтвердив ее адекватность и практическую применимость.